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牛顿法

2018-08-27 10:42:15     所属分类:最优化算法
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牛顿法英语:Newton's method)又称为牛顿-拉弗森方法英语:Newton-Raphson method),它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法使用函数的泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。

目录

  • 1 起源
  • 2 方法说明
  • 3 其它例子
    • 3.1 第一个例子
    • 3.2 第二个例子
  • 4 应用
    • 4.1 求解最值问题
  • 5 注解
  • 6 外部链接

起源

牛顿法最初由艾萨克·牛顿在《流数法》(Method of Fluxions,1671年完成,在牛顿去世后的1736年公开发表)中提出。约瑟夫·鲍易也曾于1690年在Analysis Aequationum中提出此方法。

方法说明

蓝线表示方程而红线表示切线。可以看出更靠近所要求的根

首先,选择一个接近函数零点的,计算相应的和切线斜率(这里表示函数的导数)。然后我们计算穿过点并且斜率为的直线和轴的交点的坐标,也就是求如下方程的解:

我们将新求得的点的坐标命名为,通常会比更接近方程的解。因此我们现在可以利用开始下一轮迭代。迭代公式可化简为如下所示:

已有证明牛顿迭代法的二次收敛[1]必须满足以下条件:
; 对于所有,其中为区间αr, α + r,且在区间其中内,即 的;
对于所有是连续的;
足够接近根 α

其它例子

第一个例子

求方程的根。令,两边求导,得。由于,则,即,可知方程的根位于之间。我们从开始。

第二个例子

牛顿法亦可发挥与泰勒展开式,对于函式展开的功能。

次方根。

而a的m次方根,亦是x的解,

以牛顿法来迭代:

(或

应用

求解最值问题

牛顿法也被用于求函数的极值。由于函数取极值的点处的导数值为零,故可用牛顿法求导函数的零点,其迭代式为

注解

  1. ^ https://cs.nyu.edu/overton/NumericalComputing/newton.pdf

外部链接

  • JAVA:牛顿勘根法 (繁体中文)
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