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克里斯托菲德斯算法

2018-08-28 09:36:12     所属分类:图算法

克里斯托菲德斯算法 (Christofides algorithm) 是旅行商问题在度量空间(即距离对称且满足三角不等式)上的一个近似算法。[1] 该算法可以保证相对最优哈密尔顿回路长度有3/2的近似比。尼科斯·克里斯托菲德斯 (Nicos Christofides) 于1976年首次发表了这个算法,故以他的名字命名之。[2] 截至2017年 (2017-Missing required parameter 1=month!),这一算法仍然是一般性旅行商问题的算法中近似比最好的结果。

目录

  • 1 算法
  • 2 近似比
  • 3 下界
  • 4
  • 5 参考文献
  • 6 外部链接

算法

G = (V,w) 是旅行商问题的一个实例。 即, G 是一顶点集V 上的一个完全图,函数 w 给 G 的每条边指定了一个非负实边权。 依三角不等式,对每三个顶点 uv 和 x 都有关系 w(uv) + w(vx) ≥ w(ux).

算法可以被描述为如下伪代码。

  1. 构造图上的最小的生成树 T
  2. 令 O 为原图顶点集中在 T 上度数为奇数的顶点集。根据握手定理,O 中有偶数个顶点
  3. 构造点集O在原完全图上的最小完美匹配M
  4. 将 M 和 T 的边集取并,构造重图 H ,满足其每个顶点都是偶数度的
  5. H 可以形成一个欧拉回路
  6. 将前一步得到的图改造为一个哈密尔顿回路:只需要跳过前一步欧拉回路中重复的顶点即可(这个步骤又称作选取近道,"short-cutting")。

近似比

算法所生成的解相对最优解有3/2的近似比。下给出简要证明。

C 为图上的最优旅行商回路。注意到,删除 C 上的一条边将产生原图上的一棵生成树,其总权重必然不超过最小生成树,亦即 w(T) ≤ w(C)。接下来,给O中的顶点编号,编号顺序依据回路C 上的顶点顺序。再将 C 做划分,得到两个边集:其一包含所有起始点在生成树上有奇数度的边,另一个则包含所有起始点在生成树上有偶数度的边。这两个边集各对应于 O 上的一个完美匹配,且匹配的总边权不超过边集的总边权。

因为两个边集是 C 的划分,二者中的某一个至多有 C 总边权的一半,因而其对应匹配的总边权不超过 C 总边权的一半。因为没有比最小完美匹配更小的匹配,所以 w(M) ≤ w(C)/2。 TM 的权重总和也就是欧拉回路的权重总和,也就是至多 3w(C)/2。由于做选取近道操作并不增加权重,所有最终输出的总边权也不超过 3w(C)/2.

下界

存在使得克里斯托菲德斯算法近似比任意接近3/2的输入。

一类满足条件的输入由 n 个顶点组成,满足最优环路上边的权重都为 1,且在最优环路上相隔一条边的边都有权重 1 + ε,其中 ε 是一个足够小的正数。未由上述定义给出的权重由两点间的最短路径给出。

最小生成树可以从最优环路中构造,总长 n − 1。唯二的奇数度点是这棵树(此时也是条路径)的两个端点,其完美匹配仅由一条权重近似为 n/2 的单边构成。 生成树和这条单边的并集是一个回路,没有可能的近道 (short-cutting),且其总边权近似为 3n/2。 而问题的最优解是使用所有权重为1或 1 + ε 的边构造的环路,其总权重为 n + (n − 2)ε,对充分小的 ε 可以无限靠近于 n[3]

Metrischer Graph mit 5 Knoten.svg 已知:一个边权满足三角不等式的完全图
Christofides MST.svg 计算最小生成树T
V'.svg 计算最小生成树中奇数度的顶点集O
G V'.svg 用 O 中的点构造原完全图上的一个完全子图
Christofides Matching.svg 构造这个子图上的最小完美匹配M
TuM.svg 将生成树和匹配取并 TM 形成一个欧拉重图
Eulertour.svg 计算欧拉回路
Eulertour bereinigt.svg 删除重复顶点,选取近道 (short-cutting),给出算法的输出

参考文献

  1. ^ Goodrich, Michael T.; Tamassia, Roberto, 18.1.2 The Christofides Approximation Algorithm, Algorithm Design and Applications, Wiley: 513–514, 2015 .
  2. ^ Nicos Christofides, Worst-case analysis of a new heuristic for the travelling salesman problem, Report 388, Graduate School of Industrial Administration, CMU, 1976.
  3. ^ Bläser, Markus, Metric TSP, (编) Kao, Ming-Yang, Encyclopedia of Algorithms, Springer-Verlag: 517–519, 2008, ISBN 9780387307701 .

外部链接

  • NIST 克里斯托菲德斯算法定义

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