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粒子滤波器

2018-08-28 09:52:58     所属分类:计算统计学

粒子滤波器(particle filter)是一种使用蒙特卡罗方法(Monte Carlo method)的递归滤波器,透过一组具有权重的随机样本(称为粒子)来表示随机事件的后验机率,从含有噪声或不完整的观测序列,估计出动态系统的状态,粒子滤波器可以运用在任何状态空间的模型上。

粒子滤波器是卡尔曼滤波器(Kalman filter)的一般化方法,卡尔曼滤波器建立在线性的状态空间和高斯分布的噪声上;而粒子滤波器的状态空间模型可以是非线性,且噪声分布可以是任何型式。

目录

  • 1 粒子滤波器原理
  • 2 非线性贝叶斯追踪
    • 2.1 预测
    • 2.2 更新
  • 3 序列重要性重采样(Sequential Importance Resampling, SIR)
    • 3.1 序列重要性采样(Sequential Importance Sampling, SIS)
    • 3.2 重采样(resampling)
  • 4 参见
  • 5 参考文献

粒子滤波器原理

粒子滤波器能够从一系列含有噪声或不完整的观测值中,估计出动态系统的内部状态。在动态系统的分析中,需要两个模型,一个用来描述状态随时间的变化(系统模型),另一个用来描述每个状态下观测到的噪声(观测模型),将这两个模型都用机率来表示。

在许多情况下,每得到一个新的观测值时,都必须对系统做出一次估计,利用递回滤波器,能够有效地达到这样的目的。递回滤波器会对得到的资料做连续处理,而非分批处理,因此不需要将完整的资料储存起来,也不需要在得到新的观测值时,将现有的资料重新做处理。递回滤波器包含两个步骤:

预测:利用系统模型,由前一个状态的资讯预测下一个状态的机率密度函数。

更新:利用最新的观测值,修改预测出的机率密度函数。

借由贝叶斯推论(Baysian inference),我们可以描述出状态空间的机率,并在得到新的观测值时,对系统做出更新,因而达成上述目的。

非线性贝叶斯追踪

在动态系统中,我们常常需要对物体做追踪。假设有一动态系统,已知其状态序列定义为

其中状态转移函数,可以是非线性的函数,是一个独立且相同分布(i.i.d.)的过程噪声序列,分别代表状态和过程噪声向量的维度,为自然数的集合。追踪的目标是要递回地从观测值估计出,而观测值定义为

其中观测函数,可以是非线性的函数,是一个独立且相同分布(i.i.d.)的观测噪声序列,分别代表观测值和观测噪声向量的维度。

从贝叶斯理论的观点来看,追踪问题是要根据到时间为止的已知资讯,递回地计算出时间的状态的可信度,这个可信度用机率密度函数来表示。假设初始机率密度函数(称为先验机率)为已知,则利用“预测”“更新”两个步骤就能递回地计算出机率密度函数

在此假设在时间的机率密度函数为已知。

预测

利用查普曼-科尔莫戈罗夫等式(Chapman–Kolmogorov equation),可以由状态转移函数与时间的机率密度函数,计算出时间的先验机率

其中,由于状态转移模型被假设为一阶马可夫过程,时间的状态只由时间决定,因此。机率模型状态转移函数的统计值得到。

更新

在时间,我们得到观测值,因此可以利用贝氏定理,由先验机率得到后验机率,也就是考虑观测值后得到的机率。

其中的归一化常数为

其中的似然函数观测函数的统计值得到。

上述“预测”“更新”的递回关系,是贝叶斯最佳解的基本概念,然而公式中运用到的积分,对于一般非线性、非高斯的系统,难以得到解析解,因此需要利用蒙地卡罗方法来近似贝叶斯最佳解。

序列重要性重采样(Sequential Importance Resampling, SIR)

序列重要性采样(Sequential Importance Sampling, SIS)

SIR是由SIS加上重采样(resampling)改良而来,在SIS中,我们将后验机率个随机采样的样本(称为粒子)与各自的权重表示为

其中的权重是根据重要性采样的规则产生,且必须符合

SIS是将重要性采样递回执行的一种方法,根据重要性采样的理论,一个函数的期望值可以用加权平均来近似

在每一次递回过程中,我们希望由前一次采样的权重,计算出下一次采样的权重。假设采样的样本分布可以表示为

其中称为重要性密度(importance density)。若样本是由重要性密度抽取出来,则权重可表示为

我们将重要性密度分解为

再将后验机率表示为

则权重的递回式可以表示为

重采样(resampling)

SIS可能会造成退化问题(degeneracy problem),也就是在经过几次递回后,很多粒子的权重都变小到可以忽略不计,只剩少数粒子的权重较大,如此会浪费大量的计算量在几乎没有作用的粒子上,而使估计性能下降。由于在递回过程中,权重的变异数只会愈来愈大,因此退化问题无法被避免。

为了评估退化问题,我们定义有效粒子数

在进行SIS时,若有效粒子数小于某一阈值,则对粒子做重采样,即可减缓退化问题。重采样的概念是去除权重过小的粒子,专注于权重较大的粒子。进行重采样时,要由现有的粒子分布取样,产生一组新的粒子,由于产生出的新样本为独立且相同分布(i.i.d.),因此将权重重新设定为

参见

  • 影像处理
  • 机器学习
  • 机器人学
  • 人工智能
  • 同步定位与地图构建(simultaneous localization and mapping, SLAM)

参考文献

  1. M. S. Arulampalam, S. Maskell, N. Gordon and T. Clapp, "A tutorial on particle filters for online nonlinear/non-Gaussian Bayesian tracking." In IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 50, no. 2, pp. 174-188, Feb 2002.
  2. A. Doucet, N. de Freitas, N. Gordon, "An Introduction to Sequential Monte Carlo Methods." In A. Doucet, N. de Freitas, N. Gordon (eds.) Sequential Monte Carlo Methods in Practice. Statistics for Engineering and Information Science. Springer, New York, NY, 2001
  3. A. Doucet, "On sequential Monte Carlo methods for Bayesian filtering." Dept. Eng., Univ. Cambridge, UK, Tech. Rep., 1998.
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