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决定性问题

2018-08-28 09:58:21     所属分类:递归论

在可计算性理论与计算复杂性理论中,所谓的决定性问题Decision problem)是一个在某些形式系统回答是或否的问题。例如:“给两个数字x与y,x是否可以整除y?”便是决定性问题,此问题可回答是或否,且依据其x与y的值。

决定性问题与功能性问题(Function problem,或复杂型问题)密切相关,功能性问题的答案内容,较简单的是与非复杂许多。范例问题:“给予一个正整数x,则哪些数可整除x?”

另一个与上述两类问题相关的是最佳化问题(Optimization problem),此问题关心的是寻找特定问题的最佳答案。

解决决定性问题的方法称为决策程式或算法。一个针对决定性问题的算法将说明给予参数x和y的情况下如何决定x是否整除y。若是某些决定性问题可以被一些算法所解决,则称此问题可决定

计算复杂度的领域中,分类可决定问题的依据在于此问题有多难被解决。在此标准下,所谓的是以解决某问题最有效率的算法所花费的计算资源为依据。在递回理论中,非决定性问题由图灵度决定,指的是一种在任何解答中隐含的不可计算性量词。

计算性理论的研究集中在决定性问题上。在与功能性问题的等值问题中,并没有失去其普遍性。

目录

  • 1 定义
  • 2 例子
  • 3 历史
  • 4 与函数问题的等价性
  • 5 参考

定义

决定性问题指的是在一个数量为无限大的输入集合中,可产出任何是或非解答的问题之集合。因此传统上定义决定性问题,乃依其解答为的输入之集合。在此情形下,一决定性问题亦等于一形式语言。

形式上,决定性问题是一自然数子集A。借由使用哥德尔数,也可学习诸如形式语言的其他集合。非正规的定义决定性问题,就是判别一个给予的数字是否在此集合内。

一决定性问题若其A是一个递归集合,则称做可决定的(decidable)或有效可解(effectively solvable)。若其A是一递归可枚举集合则称为部分可决定的(partially decidable)、半可决定的(semidecidable)、可解的(solvable)或可证明(provable)。除此之外,此问题称为不可决定的

例子

一个经典可决定的决定性问题是质数问题。借由测试每一个可能的因数,有可能有效决定一个自然数是否为质数。尽管存在很多效能更佳的质数判定方法,任何有效方法的存在就已足够建立可决定性。

重要的不可决定的决定性问题包括停机问题,其他请见不可决定的问题列表。在计算复杂性理论中,完备的决定性问题通常用来判别其他决定性问题的复杂度类别。重要的实例包括SAT问题与其数变种,还有无向与有向图可达性问题。

历史

德语“Entscheidungsproblem”,亦即“判定性问题”(Decision-problem),最早出自于大卫·希尔伯特的话:“在1928年的会议上,希尔伯特精确地描述了他的问题。首先,数学是否具有完备性?……其次,数学是否具有相容性?……再次,数学是否具有判定性?这些问题的意思是,是否存在这样一种确定的方法,在理论上可适用于任何假设,并且能够保证对无论是否正确的假设都能给出一个正确的结果”(Hodeges,p. 91)。希尔伯特相信“在数学上没有‘ignorabimus’”,亦即“我们将无从得之”。需要了解更多信息请参见大卫·希尔伯特和停机问题。

与函数问题的等价性

参考

  • Hodges, A., Alan Turing: The Enigma, Simon and Schuster, New York. Cf Chapter "The Spirit of Truth" for some more history that led to Turing's work.
Hodges references a biography of David Hilbert: Constance Reid, Hilbert(George Allen & Unwin; Springer-Verlag, 1970). There are apparently more recent editions.
  • Kozen, D.C.(1997), Automata and Computability, Springer.
  • Hartley Rogers, Jr., The Theory of Recursive Functions and Effective Computability, MIT Press, ISBN 0-262-68052-1 (paperback), ISBN 0-07-053522-1
  • Sipser, M.(1996), Introduction to the Theory of Computation, PWS Publishing Co.
  • Robert I. Soare (1987), Recursively Enumerable Sets and Degrees, Springer-Verlag, ISBN 0-387-15299-7

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