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葛立恒数

2018-08-30 10:01:14     所属分类:离散数学

葛立恒数由葛立恒提出,曾经被视为在正式数学证明中出现过最大的数,后来则被TREE(3)英语TREE(3)取代。它大得连高德纳箭号表示法也难以简单表示,而必须使用64层高德纳箭号表示法才表示得出来。

马丁·加德纳于1977年11月在美国科学人杂志的“数学游戏”专栏将此数刊登出来,1980年被吉尼斯世界纪录订为在正式数学证明中出现过最大的数。

目录

  • 1 葛立恒问题
  • 2 定义
  • 3 巨大的葛立恒数
  • 4 葛立恒数最尾端的500位数字
  • 5 外部链接

葛立恒问题

这是个拉姆齐理论的问题:考虑一个n维的超立方体,连结所有顶点,有一个2n个顶点的完全图。将这个图的每条边填上红色或黑色。求n的最小值,才使得所有填法中都必定存在一个在同一平面上有四个顶点的单色完全子图。

虽然这个准确答案未知,但葛立恒数是其中一个上界。事实上,葛立恒在1971年(葛立恒数还尚未被刊登)就已经找到比葛立恒数更小的上界,这个上界定义为,其中;康威链式箭号表示法也可以表示此数的大略范围,此数小于4 → 2 → 8 → 2和2 → 3 → 9 → 2。

葛立恒数远比来得大。

目前最小的上界为,这已远比葛立恒数小,但仍无法用科学记数法表示。

现时所知最大的下界由Jerome Barkley教授在2008年提出,至少是13。

定义

葛立恒数的高德纳箭号表示法

定义函数f(n) = 3 n + 2 3 = 3→3→n(参看超运算或康威链式箭号表示法),使用函数幂,则葛立恒数是f64(4)。

虽然葛立恒数不可以用康威链式箭号表示法很方便地表达,但康威链式箭号表示法能为它简单地定上下界: 3→3→64→2 < 葛立恒数 < 3→3→65→2

如果要用高德纳箭号表示法来表示葛立恒数,会变得异常复杂,如右所示(G代表葛立恒数),而高德纳箭号表示法所能表示的已经远远超出科学记数法了。

巨大的葛立恒数

利用超运算,葛立恒数G可以表示为:

其中,表示共有64层超运算。从内至外,每一层中的超运算级数由方括号内的那一层所表示的数值决定。 计算G值需要经过64步,首先从最内层开始计算:

让:

(迭代幂次)

给定函数:

例如:

然后计算g2

接着计算:

最后:

一般来说:

其中:

以此类推。

葛立恒数最尾端的500位数字

...

02425 95069 50647 38395 65747 91365 19351 79833 45353 62521

43003 54012 60267 71622 67216 04198 10652 26316 93551 88780

38814 48314 06525 26168 78509 55526 46051 07117 20009 97092

91249 54437 88874 96062 88291 17250 63001 30362 29349 16080

25459 46149 45788 71427 83235 08292 42102 09182 58967 53560

43086 99380 16892 49889 26809 95101 69055 91995 11950 27887

17830 83701 83402 36474 54888 22221 61573 22801 01329 74509

27344 59450 43433 00901 09692 80253 52751 83328 98844 61508

94042 48265 01819 38515 62535 79639 96189 93967 90549 66380

03222 34872 39670 18485 18643 90591 04575 62726 24641 95387.

事实上,对于所有正整数的末500位数也与葛立恒数相同。

外部链接

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