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泵引理

2018-08-30 10:02:00     所属分类:形式语言

在可计算性理论中的形式语言理论中,泵引理声称给定类的任何语言可以被“抽吸”并仍属于这个类。一个语言可以被抽吸,如果在这个语言中任何足够长的字符串可以分解成片段,其中某些可以任意重复来生成语言中更长的字符串。这些引理的证明典型的需要计数论证比如鸽笼原理。

两个最重要例子是正则语言的泵引理上下文无关语言的泵引理鄂登引理是另一种更强的上下文无关语言的泵引理。

这些引理可以用来确定特定语言在给定语言类中。但是它们不能被用来确定一个语言在给定类中,因为满足引理是类成员关系的必要条件,但不是充分条件。

泵引理是1961年由 Y. Bar-Hillel、M. Perles 和 E. Shamir首次发表的[1]

目录

  • 1 正则语言的泵引理
    • 1.1 定义
    • 1.2 正确性的证明
    • 1.3 应用
    • 1.4 普遍化的泵引理[2]
  • 2 上下文无关语言的泵引理
    • 2.1 定义
    • 2.2 应用
  • 3 引用

正则语言的泵引理

定义

假设是正则语言,存在字符串(n为泵长度,可理解为正则语言等效的DFA的状态个数),如果可以将w写成的形式时,以下说法成立:

泵引理也可以写成以下的形式:………… …………

正确性的证明

  • 因为L是正则语言,所以存在一个与之等价的确定有限状态自动机,
  • 假设n是这个确定有限状态自动机中状态的数量,
  • 假设
  • 在这个自动机读入w的前n个字符后一定有一个状态达到过两次,
  • 也就是说对于其中一种w的分解方式w=xyz有
  • 因此对于所有的都有

应用

通过泵引理可以用反证法证明L不是正则语言。证明的时候需要注意以下几点:

  1. 假设要证明的语言为正则语言
  2. 是未知的
  3. 可以在满足的条件下自由选择
  4. 也是未知的
  5. 找到一个,使得,也就是说和泵引理的第三条矛盾

一个证明L不是正则语言的例子

  • 证明不是正则语言
    • 假设是正则语言,令n为泵引理常数
    • 选择,则
    • 于是存在使得满足条件
    • 因为且,所以中不包含但最少有一个
    • 的时候,的数量比多,所以
    • 与泵引理的第三条矛盾,因此不是正则语言

普遍化的泵引理[2]

并不是所有满足泵引理的语言都是正则语言。就是这样的一个例子,它虽然满足泵引理,但并不是正则语言。Jeffrey Jaffe发展出了一个普遍化的泵引理,使它可以证明一个语言是正则语言。它的描述如下:

  • 一个语言是正则语言,当且仅当存在一个自然数,使得任意字符串可以通过至少一种方式被写成的形式时,以下说法成立:

一个可行的用于判断一个语言是否为正则语言的方法,可以参见迈希尔-尼罗德定理。一般来说证明一个语言是正则的,可以通过对该语言构造一个有限状态机或正则表达式来实现。

上下文无关语言的泵引理

定义

L 是上下文无关语言,则存在一常数 n > 0 使得语言 L 中每个字串 w 的长度 |w| ≧ n,而当 w = uvxyz 时:

  1. |vxy| ≦ n
  2. |vy| ≧ 1,且
  3. 对所有的 k ≧ 0,字串 uvkxykz 属于 L

应用

透过泵引理以反证法证明 L 不是上下文无关语言。

  • ,换句话说,L 就是包含 所有字串且 abc 三者数目相同的语言。
    • n泵引理常数, 属于 Lw = uvxyz,而 |vxy| ≤ n,|vy| ≥ 1,则 vxy 不可能同时包含 ac
      1. vxy 不包含 a 时,vy 只可能包含 bc,则 uxz 包含 na 及不到 n 个的 bc,使得 uxz 不属于 L
      2. vxy 不包含 c 时,uxz 会包含 nc 及不到 n 个的 ab,使得 uxz 不属于 L
    • 因此,无论是上述何种状况,L 都不会是上下文无关语言。
    • n泵引理常数,w = uvxyz,而 |vxy| ≤ n,|vy| ≥ 1
      1. vxy 只包含 a,则 uxz 会包含不到 nab,不属于 L
      2. vxy 只包含 b,则 uxz 会包含 na 及不到 b,不属于 L
      3. vxy 里有 a 也有 b
        1. vy 包含 ab 不在 里;
        2. v 只包含 la,且 y 只包含 mb 会包含 n + lkab,由于两者都是线性成长,不可能永远满足 的条件,不属于 L
    • 因此,无论是上述何种状况,L 都不会是上下文无关语言。
    • n泵引理常数, 属于 Lw = uvxyz,而 |vxy| ≤ n,则 vxy 必然为 形式(此处有)。即 vxy无法同时包含前后两组0,也无法同时包含前后两组1。将uvxyz转变成uxz必然导致前后两组0或两组1的数目产生差异。使得uxz不再满足ww形式。亦即uxz不属于L
    • 因此,L 都不会是上下文无关语言。

引用

  1. ^ Y. Bar-Hillel, M. Perles, E. Shamir, "On formal properties of simple phrase structure grammars", Zeitschrift für Phonetik, Sprachweissenshaft und Kommunikationsforschung 14 (1961) pp. 143-172.
  2. ^ Jeffery Jaffe: A necessary and sufficient pumping lemma for regular languages
  • Michael Sipser. Introduction to the Theory of Computation. PWS Publishing. 1997. ISBN 978-0-534-94728-6.  Section 1.4: Nonregular Languages, pp.77–83. Section 2.3: Non-context-free Languages, pp.115–119.

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