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语法幺半群

2018-08-30 10:02:31     所属分类:形式语言

语法幺半群,即在数学中,形式语言 L语法幺半群 M(L) 是可识别语言 L 的最小的幺半群。

目录

  • 1 语法商
  • 2 语法等价
  • 3 语法幺半群
  • 4 例子
  • 5 参考文献

语法商

给定幺半群 M 的子集 ,可以定义由 S 中元素的形式左逆或右逆组成的集合。它们叫做商,可以定义右商和左商,依赖于串接的是哪一端。S 与一个元素 右商是集合

类似的,左商

语法等价

语法商引发了 M 上的一个等价关系,叫做(引发自 S 的)语法关系语法等价语法同余。右语法等价是等价关系

类似的,左语法关系是

两端同余可以定义为

语法幺半群

语法商相容于在幺半群中的串接,有着

对于所有 (左商也类似)。所以,语法商是幺半群态射,并包括一个商幺半群

可以证明 S 的语法幺半群是可识别 S 的最小的幺半群;就是说 M(S) 识别 S,对于所有识别 S 的幺半群 NM(S) 是 N 的子幺半群的商。S 的语法幺半群也是 S 的极小自动机的转移幺半群。

等价的说,一个语言 L 是可识别的,当且仅当商的族

是有限的。等价性的证明非常容易。假定字符串 x 是可被确定有限状态自动机识别的,带有最终机器状态是 f。如果 y 是这个机器可识别的另一个字符串,也终止于同样的最终状态 f,则明显的有 。类似的,在 中元素的数目就精确等于这个自动机的最终状态的数目。假定反过来: 在 中元素的数目是有限的。可以接着构造一个自动机,使得 是状态的集合, 是最终状态的集合,单元素集合 L 是初始状态,转移函数给出自 。明显的这个自动机识别 L。所以语言 L 是可识别的当且仅当集合 是有限的。

给定表示 S 的一个正则表达式 E,很容易计算 S 的语法幺半群。

例子

  • 双循环幺半群是 戴克语的语法幺半群。
  • 迹幺半群是语法幺半群。

参考文献

  • Jean-Eric Pin, "Syntactic semigroups", Chapter 10 in "Handbook of Formal Language Theory", Vol. 1, G. Rozenberg and A. Salomaa (eds.), Springer Verlag, (1997) Vol. 1, pp. 679-746

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