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左递归

2018-08-30 10:02:46     所属分类:形式语言

在计算机科学里面,左递归是一种递归的特殊状况。

在上下文无关文法内里的说法,,若一个非终端符号(non-terminal)r有任何直接的文法规则或者透过多个文法规则,推导出的句型(sentential form)其中最左边的符号 又会出现r,则我们说这个非终端符号r是左递归的。

使用类似的方式我们可以定义出某文法本身是左递归的。

目录

  • 1 定义
    • 1.1 直接左递归
    • 1.2 间接左递归
  • 2 在由上而下语法分析(top-down parsing)里容纳左递归
  • 3 移除左递归
    • 3.1 移除直接左递归
    • 3.2 移除间接左递归
  • 4 陷阱
  • 5 相关条目
  • 6 参考资料
  • 7 外部链接

定义

"一个文法是左递归的,若我们可以找出其中存在某非终端符号A,最终会推导出来的句型(sentential form)里面包含以自己为最左符号(left-symbol)的句型"[1]

直接左递归

直接左递归(Immediate left recursion)以下面的句型规则出现:

这里代表不同的非终端符号跟终端符号组成的序列,并且不一定要包含。举例来说,以下规则

就是一个直接左递归的例子。 这规则的递归下降分析器(recursive descent parser)可能会像这样:

function Expr()
{  
    Expr();  match('+');  Term();
}

然后这个递归下降分析器在尝试去解析包含此规则的文法时,会陷入一个无穷的递归。

间接左递归

间接左递归(indirect left recursion)最简单的形式如下:

这规则可能产生 这种生成。

简单的说,间接左递归就是,并非在一条规则内完成左递归,而是在许多条规则之后,于产生的句子最左边出现了一开始的非终端符号。

更一般化的说法,对非终端符号,间接左递归被定义为以下的型态:

这里的都是一堆终端与非终端符号的序列。

在由上而下语法分析(top-down parsing)里容纳左递归

一个包含左递归的形式文法不能以简易的 递归下降分析器进行语法分析,除非将文法转变为weakly equivalent 的右递归形式 (相对的,在LALR分析器里面则比较偏好左递归,因为比起右递归来说会使用比较少的堆叠);然而,比较复杂的由上而下(top-down)语法分析器里面可以借由使用缩减(by use of curtailment)来实做一般的上下文无关文法。 在2006年, Frost 和 Hafiz 提出一个算法,可以容纳包含直接左递归生成规则的 模糊文法英语ambiguous grammer(ambiguous grammers)。[2] 在2007年,Frost,Hafiz和Callaghan 将此算法延伸为一个完整的,可以适用并在多项式时间内处理直接或间接左递归,而且可以为高度模糊文法接近指数数目的分析树,产生小一些多项式空间的表示法。[3]这些人后来在Haskell编程语言里面以这个算法实做了一个的分析器组合(parser combinator)的集合。[4]

移除左递归

移除直接左递归

一个一般化后移除直接左递归的算法如下所述。 这个方法已经有过许多的改进,包括Robert C. Moore所撰写,名为"Removing Left Recursion from Context-Free Grammars"的改进。[5]

对于每个规则如下

(注意这里:

  • A 是一个有左递归的非终端符号
  • 是一个终端与非终端符号的序列,而且不为空字串 ()
  • 是一个不以A开头的,以终端与非终端符号组成的序列)

将A的规则改成以下规则:

然后对新创造出来非终端符号的规则

这个新创造出来的符号常被称为"尾巴"(tail),或者"rest"(剩余)

举例,考虑以下规则

我们可以改写为

然后最后一个规则可以缩短改写为

来避免掉左递归的出现

移除间接左递归

如果文法内不存在 (代表空字串)的生成 (不存在这样的规则),而且不是循环(cyclic)的文法(对所有非终端符号A,不存在像是这种形式的规则),以下这个一般化的算法可以用来去除文法的间接左递归:

将所有非终端符号以某个固定的顺序排列

从 i = 1 到 n {
从 j = 1 到 i – 1 {
  • 的生成规则为
  • 将所有规则 换成
  • 移除规则中的直接左递归
}
}

陷阱

上面的转换使用右递归的文法来避免掉左递归的出现;但是这样会改变规则的结合律。左递归会创造出向左的结合律;但是右递归则会创造出向右的结合律。

范例 :

一开始我们拿到以下文法:

在我们使用上面的转换方式来移除掉左递归之后,我们取得了以下文法:

我们将字串 'a + a + a'用一个LALR分析器(这种分析器可以处理左递归的文法)使用原先的文法来分析,会得到下面的分析树(parse tree):

                            Expr
                         /   |   
                       Expr   +   Term
                     /  |          
                   Expr  + Term      Factor
                    |      |       |
                   Term    Factor    Int
                    |      |
                  Factor    Int
                    |
                   Int  

整个分析树是往左边长,代表在这里的规则,'+'这个符号是左结合(left associative)的,或者说这规则代表(a + a) + a。

但是我们改变了文法之后,那这个分析树会变成:

                            Expr ---
                           /        
                         Term      Expr' --
                          |       /  |      
                        Factor   +  Term   Expr' ------
                          |          |      |         
                         Int       Factor   +  Term   Expr'
                                     |           |      |
                                    Int        Factor   
                                                 |
                                                Int

我们可以看出这棵树现在是往右边成长,意思上代表了a + ( a + a)。我们将'+'的结合律改变了, 变成是右结合的规则。 在处理加法的文法时这不是什么问题,但是如果我们现在处理的是减法,这就会变成是很严重的问题。

问题的关键在于有很多常用的算术规则要求左结合的规则。我们有几种解决办法: (a) 将规则重新改为左递归,(b) 使用更多的非终端符号来改写规则,以强迫文法合乎正确的结合(c) 如果使用YACC 或者Bison,他们有所谓算符宣告(operator declarations), %left, %right and %nonassoc,这一些算符可以告诉语法分析器产生程式(parser generator)应该遵从哪一种结合。

相关条目

  • 尾部递归

参考资料

  1. ^ Notes on Formal Language Theory and Parsing, James Power, Department of Computer Science National University of Ireland, Maynooth Maynooth, Co. Kildare, Ireland.JPR02
  2. ^ Frost, R.; R. Hafiz. A New Top-Down Parsing Algorithm to Accommodate Ambiguity and Left Recursion in Polynomial Time.. ACM SIGPLAN Notices. 2006, 41 (5): 46–54. doi:10.1145/1149982.1149988. 
  3. ^ Frost, R.; R. Hafiz and P. Callaghan. Modular and Efficient Top-Down Parsing for Ambiguous Left-Recursive Grammars. (PDF). 10th International Workshop on Parsing Technologies (IWPT), ACL-SIGPARSE (Prague). June 2007: 109–120.  [失效链接]
  4. ^ Frost, R.; R. Hafiz and P. Callaghan. Parser Combinators for Ambiguous Left-Recursive Grammars. (PDF). 10th International Symposium on Practical Aspects of Declarative Languages (PADL), ACM-SIGPLAN. January 2008, 4902 (2008): 167–181. doi:10.1007/978-3-540-77442-6_12. 
  5. ^ Moore, Robert C. Removing Left Recursion from Context-Free Grammars (PDF). 6th Applied Natural Language Processing Conference. May 2000: 249–255. (原始内容 (PDF)存档于2006-09-16). 

外部链接

  • CMU lecture on left-recursion
  • Practical Considerations for LALR(1) Grammars
  • X-SAIGA - eXecutable SpecificAtIons of GrAmmars

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