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LOCC

2018-08-30 10:08:18     所属分类:量子信息

LOCC 是 Local Operations(局域操作)and Classical Communications(经典通信)的缩写,它是一种用在量子信息上、对量子态进行操作的方法。简单的说,当一个量子系统被分成许多部分,每个部分的测量和操作只限制在该部分上,各个部分之间允许经典通信,例如:打电话。许多量子信息的工作必须借由 LOCC 来完成,例如:假设某次实验室制备了一个贝尔态英语Bell state,但是却不能确定这个贝尔态英语Bell state 还是 ,其中

局域操作和经典通信示意图

A和B两个量子比特是分隔两地的,并且由爱丽丝对量子比特A进行操作,由鲍勃对量子比特B进行操作。首先爱丽丝测量量子比特A并得到结果0,此时我们仍不知道当初实验室制备的贝尔态英语Bell state 还是 。这时候爱丽丝借由打电话把结果告诉鲍勃,接着鲍勃对量子比特B进行测量并得到结果0,现在鲍勃得知波函数坍缩成 ,所以推得实验室制备的贝尔态英语Bell state

目录

  • 1 纠缠转换
    • 1.1 催化转换
    • 1.2 塔库定理
    • 1.3 纠缠转换和量子多体系统
  • 2 参考文献

纠缠转换

将一个量子系统分成两部分,利用 LOCC 操作,把一个纠缠态转换成另一个纠缠态。 举例说明:爱丽丝鲍勃分别拥有一个纠缠态(纯态)的一部分,例如 爱丽丝鲍勃都只能对各自的自旋进行操作,也就是Local Operation的意思。当然这个操作也包含测量,当爱丽丝进行Sz的测量后,得到本征值+ħ/2,波函数坍缩成 ,然后爱丽丝透过电话告诉鲍勃结果,这就是Classical Communications,鲍勃知道结果后也相应做了一个Local Operation,现在鲍勃做σx操作,于是波函数变为 。如果刚才爱丽丝测得本征值-ħ/2,波函数坍缩成 ,则爱丽丝立即进行σx操作,然后经由电话告诉鲍勃,要求鲍勃不做任何操作,结果仍然可将波函数透过利用LOCC转换成

显然利用 LOCC 把某个态 转换成 ,A与B之间的纠缠只能变小或维持不变。但是并不是只要 的纠缠熵比 的纠缠熵还小就必定能透过 LOCC 作转换。要判断可不可转,首先,可以把 分别做施密特分解英语Schmidt decomposition

将Schmidt值由大至小排列然后进行比较。尼尔森(Nielsen)在1999年提出定理[1]:

若Majorization
,
对于所有 都成立,则 可利用LOCC转换成

然而若上述条件不成立,并不表示 LOCC 转换必定不成立。如果允许引入催化态,LOCC 转换仍有可能的。

催化转换

Jonathan 和 Plenio 在尼尔森定理发表不久即给出一个催化转换的例子[2]:考虑

以上三个态已经过施密特分解英语Schmidt decomposition且系数皆由大至小排列,以下进行 验算系数的前 项之和:

0 0.4 0.5
1 0.8 0.65
2 0.9 1.0
3 1.0 1.0

以上表格中,若“ 的前 项之和”比“ 的前 项之和”小的话,填入绿色;大的话,填入红色;相等则是留下白色。如此一来,观察 方向的颜色便一目了然。如果所有颜色皆为绿色,则表示 可经由LOCC转换成 ;如果所有颜色皆为红色,则表示 可经由LOCC转换成 ;如果颜色既有红色又有绿色,则说明若无催化态便不可转换。

那么什么是“催化转换”和“催化态”呢?我们考虑直积态

以上各项已按照由大至小排列,接着同样进行制作表格计算前 项之和:

0 0.24 0.30
1 0.48 0.50
2 0.64 0.65
3 0.80 0.80
4 0.86 0.90
5 0.92 1.00
6 0.96 1.00
7 1.00 1.00

表格做完马上看出所有颜色皆为绿色,因此根据尼尔森定理, 透过LOCC转换成 是可以的。由于 只是从直积态中直接加入然后转换完毕便可取走,很像化学反应中的催化剂,因此可称 是催化态。

塔库定理

2007年塔库(Turgut)证明了定理[3]

纠缠转换和量子多体系统

[4] [5] [6]

参考文献

  1. ^ M. A. Nielsen, Phys. Rev. Lett. 83, 436 - 439 (1999)
  2. ^ D. Jonathan and M. B. Plenio, Phys. Rev. Lett. 83, 3566 (1999)
  3. ^ S. Turgut, J. Phys. A: Math. Theor. 40, 12185 (2007)
  4. ^ J. Cui, M. Gu, et al. Quantum phases with differing computational power. Nat. Commun. 3, 812 (2012).
  5. ^ F. Franchini, J. Cui, . Amico, H. Fan, M. Gu, V. Korepin, L. C. Kwek, and V. Vedral, Local Convertibility and the Quantum Simulation of Edge States in Many-Body Systems, Phys. Rev. X 4, 041028 (2014)
  6. ^ Y.-C. Tzeng, L. Dai, et al. Entanglement convertibility by sweeping through the quantum phases of the alternating bonds XXZ chain. Sci. Rep. 6, 26453 (2016).
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