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均差

2018-09-06 14:24:24     所属分类:数值分析

均差(Divided differences)是递归除法过程。在数值分析中,也称差商Difference quotient英语Difference quotient),可用于计算牛顿多项式形式的多项式插值的系数。

目录

  • 1 定义
  • 2 表示法
  • 3 例子
  • 4 性质
  • 5 展开形式
  • 6 等价定义
  • 7 牛顿插值法
  • 8 前向差分
    • 8.1 定义
    • 8.2 例子
    • 8.3 展开形式
    • 8.4 插值公式
    • 8.5 无穷级数
  • 9 幂函数的均差
  • 10 泰勒形式
  • 11 皮亚诺形式
  • 12 注释与引用
  • 13 参见

定义

给定n+1个数据点

定义前向均差为:

定义后向均差为:

表示法

假定数据点给出为函数 ƒ,

其均差可以写为:

对函数 ƒ 在节点 x0, ..., xn 上的均差还有其他表示法,如:

例子

给定ν=0:

为了使涉及的递归过程更加清楚,以列表形式展示均差的计算过程[1]

性质

  • 线性
  • 莱布尼茨规则
  • 均差中值定理

展开形式

用数学归纳法可证明[2]

此公式体现了均差的对称性质。[3]故可推知:任意调换数据点次序,其值不变。[4]

等价定义

通过对换 n 阶均差中(x0,y0)与(xn-1,yn-1),可得到等价定义:

这个定义有着不同的计算次序:

以列表形式展示这个定义下均差的计算过程[5]

牛顿插值法

《自然哲学的数学原理》的第三编“宇宙体系”的引理五的图例。这里在横坐标上有6个点H,I,K,L,M,N,对应着6个值A,B,C,D,E,F,生成一个多项式函数对这6个点上有对应的6个值,计算任意点S对应的值R。牛顿给出了间距为单位值和任意值的两种情况。

牛顿插值公式,得名于伊萨克·牛顿爵士,最早发表为他在1687年出版的《自然哲学的数学原理》中第三编“宇宙体系”的引理五,此前詹姆斯·格雷果里于1670年和牛顿于1676年已经分别独立得出这个成果。一般称其为连续泰勒展开的离散对应。

使用均差的牛顿插值法为:

可以在计算过程中任意增添节点如点(xn+1,yn+1),只需计算新增的n+1阶均差及其插值基函数,而无拉格朗日插值法需重算全部插值基函数之虞。

对均差采用展开形式:

以2阶均差牛顿插值为例:

前向差分

当数据点呈等距分布的时候,这个特殊情况叫做“前向差分”。它们比计算一般的均差要容易。

定义

给定n+1个数据点

有着

定义前向差分为:

例子

展开形式

差分的展开形式是均差展开形式的特殊情况[6]

这里的表达式

是二项式系数,其中的(n)k是“下降阶乘幂”,空乘积(n)0被定义为1。

插值公式

其对应的牛顿插值公式为:

无穷级数

牛顿在1665年得出并在1671年写的《流数法》中发表了ln(1+x)的无穷级数,在1666年得出了arcsin(x)和arctan(x)的无穷级数,在1669年的《分析学》中发表了sin(x)、cos(x)、arcsin(x)和ex的无穷级数;莱布尼茨在1673年大概也得出了sin(x)、cos(x)和arctan(x)的无穷级数。布鲁克·泰勒在1715年著作《Methodus Incrementorum Directa et Inversa》中研讨了“有限差分”方法,其中论述了他在1712年得出的泰勒定理,这个成果此前詹姆斯·格雷果里在1670年和莱布尼茨在1673年已经得出,而约翰·伯努利在1694年已经在《教师学报》发表。

他对牛顿的均差的步长取趋于0的极限,得出:

幂函数的均差

使用普通函数记号表示幂运算,,有:

此中n+1元m次齐次多项式的记法同于多项式定理。

泰勒形式

泰勒级数和任何其他的函数级数,在原理上都可以用来逼近均差。将泰勒级数表示为:

均差的泰勒级数为:

项消失了,因为均差的阶高于多项式的阶。可以得出均差的泰勒级数本质上开始于:

依据均差中值定理,这也是均差的最简单逼近。

皮亚诺形式

均差还可以表达为

这里的Bn-1是数据点x0,...,xn的n-1次B样条,而f(n)是函数f的n阶导数。这叫做均差的皮亚诺形式,而Bn-1是均差的皮亚诺核。

注释与引用

  1. ^
  2. ^
  3. ^ 《数值分析及科学计算》 薛毅(编) 第六章 第2节 Newton插值. P200.
  4. ^ 《数值分析及科学计算》 薛毅(编) 第六章 第2节 Newton插值. P201.
  5. ^
  6. ^

参见

  • 差分
  • 插值
  • 牛顿多项式
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