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线性近似

2018-09-06 14:24:59     所属分类:数值分析
在 (a, f(a)) 处的切线

在数学中,线性近似就是用线性函数对普通函数进行近似。这个线性函数称为仿射函数。

例如,有一个实数变量的可导函数 f,根据 n=1 的泰勒公式

其中 是余数。舍去余数就是线性近似:

x 无限接近于 a 的时候这个等式成立。右侧的表示是 f 在点 (a, f(a)) 处的切线,因此这个过程也叫作切线近似

我们也可以对以向量作为变量的向量函数作线性近似,这时在该点的导数用雅可比矩阵代替。例如,一个有实数变量的可导函数 ,可以用函数 在接近 点处的值来近似

方程右侧是 在点 处的平面切线。

在更具普遍意义的巴拿赫空间上,

其中 是函数 处的 Fréchet 导数。

例子

可以通过下面的过程求得 的值。

  1. 设函数 ,问题简化为求 的值。
  2. 可以得到
  3. 根据线性近似
  4. 结果 2.926 非常接近于实际值 2.924
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