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近似

2018-09-06 14:25:33     所属分类:数值分析

近似或是逼近是指一个事物和另一事物类似,但不是完全相同。近似可以用在许多性质上量、数值、影像或说明,是指几乎一様,但没有完全一様的情形。

近似最常用在数字上,也常用在数学函数、形状及物理定律中。

在科学上,会将一物理现象转换为一个有相似结构的模型[1],当准确的模型难以应用时,会用一个较简单的模型来近似,简化中间的计算,例如用球棒模型来近似实际化学分子中原子的分布。当由于资讯不完整,无法确切陈述特定事物时,也可以用近似的方式处理。

近似的种类会依照可以取得的资讯、需要的准确程度及使用近似可以节省的时间及精力而定。

目录

  • 1 数学
  • 2 科学
  • 3 符号
  • 4 相关条目
  • 5 参考资料
  • 6 外部链接

数学

逼近理论(Approximation theory)是数学中的一个分支,是一种量化的泛函分析。丢番图逼近是用有理数来逼近实数。当一个数的真正数值未知或难以获得时,就可以用近似(即逼近)的方式处理。有时存在一些已知的近似值可以表示其真正数值,而又不会有太大的误差,例如圆周率π常简写为3.14159,或是√2用1.414来表示。

当使用数字的有效数字很小时,也会出现数值逼近的情形,运算常会带来舍入误差,因此会产生逼近。像对数表、计算尺及计算器在计算大部分的运算时也都会有数值逼近。像电脑计算的结果就是以有限位数的有效数字来呈现,因此也有数值逼近,不过可以借由设计.使其逼近误差更低,产生更准确的结果[2]。在电脑处理时,当一个小数无法用有限位数的二进数小数表示时,就会产生数值逼近。

和函数逼近有关的是函数的渐近值,也就是当函数的一个或数个变数无限制的变大时,函数所对应的数值。例如级数(k/2)+(k/4)+(k/8)+...(k/2^n)会渐近等于k。可惜上述的关系没有类似等号的固定符号来表示。有些数学书籍是用≈表示逼近等于,用~表示表示渐近等于,但也有其他书籍的表示方式恰好相反。

另一个例子是在进化算法中,为了加速收敛的速率所导入的适应度逼近英语fitness approximation,可以针对适应度函数英语fitness function建模,以选择较佳的搜寻方式。

科学

在科学实验中也有逼近的情形.科学理论的预测可能会和实际量测的结果不同,其原因可能因为有一些实际情形下的因素,在理论中没有考虑到。例如在考虑自由落体的运动时.未考虑阻力对物体的影响,因此理论也是对实际情形的一种逼近。若因为量测技术的限制,使得量测值和实际值不同,此情形的量测值也是实际值的逼近。

在科学史上,许多定理会随着时间演进,考虑更多的因素和影响,早期的定理也就成为后来定理的一个逼近。例如依照对应原理,较新的定理会取代较早期的定理,在适当的条件下,二个的结果相同,但较新的定理可以考虑较多的因素或是适用在一些特别的情形,此时较早期的定理就是较新的定理的一个近似[3],例如系统“大”的情况下,较早期的古典物理学可以认为是较晚期量子物理学的一个近似。

有些物体问题难以直接分析,或是在现有可有的解析工具下进展有限,因此利用近似可以在简化问题的复杂程度下,得到够精确的结果。例如物理学家多半会假设地球为一球体,既使有更精确的方式可以描述地球的形状,但假设地球为一球体时,一些物理特性(像重力)的计算会容易很多。

在分析多个星体围绕一恒星运转时(即多体问题),也会用近似的方式处理。由于各星体之间都会有万有引力,在计算上相当困难[4]。近似的解法是利用迭代方式进行,一开始先只假设恒星不动,不考虑恒星以外各星体之间的作用力,若需要更精确的结果,则以第一次计算的位置为准,在考虑更多作用力的情形下再进行一次迭代,一直到有够精确的结果出现为止。利用微扰理论来修正误差,可以得到更精确的结果。

在最佳化算法中,有些问题的最佳解很不容易取得,或是时间复杂度太高,此时可以用近似算法,设法找出够好的解,而不一定是最佳解。

符号

一般会用波浪状或有加点的等点来表示[5]

  • (Unicode 2248), 表达近似的是“波浪”等号。
  • (Unicode 2243), = 的混合,也用于代表渐近于
  • (Unicode 2245), 另一个 = 的混合,有时用来代表同构、同余关系又或几何学的全等。
  • ~ (Unicode 007E), 有时用来代表正比、和等价关系有关、几何学的相似,又或代表随机变数根据概率分布的分布情况。
  • (Unicode 2252), 用于日文和韩文

相关条目

  • 近似等号
  • 逼近误差
  • 同余关系
  • 费米问题
  • 最小二乘法
  • 线性近似
  • 牛顿法
  • 数值分析
  • 龙格-库塔法
  • 循续渐近式类比数位转换器
  • 泰勒级数
  • 近似算法
  • 圆周率
  • 欧拉数
  • 正弦

参考资料

  1. ^ 吴明珠. 科学模型本质剖析:认识论面向初探 (PDF). 科学教育月刊. 2008年4月, 207: p2–8 [2013-07-24]. 
  2. ^ Numerical Computation Guide
  3. ^ Encyclopedia Brittanica
  4. ^ The three body problem
  5. ^ Mathematical Operators – Unicode (PDF). [2013-04-20]. 

外部链接

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