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数值微分

2018-09-06 14:25:36     所属分类:数值分析

数值微分是数值方法中的名词,是用函数的值及其他已知资讯来估计一函数导数的算法。

Derivative.svg

目录

  • 1 有限差分法
    • 1.1 利用浮点数的实际考量
    • 1.2 高阶方法
  • 2 微分求积
  • 3 复变的方法
  • 4 参考资料
  • 5 相关条目
  • 6 外部链接

有限差分法

最简单的方式是使用有限差分近似。

简单的二点估计法是计算经过(x,f(x))及邻近点(x+h,f(x+h))二点形成割线的斜率[1]选择一个小的数值h,表示x的小变化,可以是正值或是负值。其斜率为

此表示法是牛顿的差商,也称为一阶均差。

割线斜率和切线斜率有些差异,差异大约和h成正比。若h近似于0,则割线斜率近似于切线斜率。因此,函数f真正在x处真正的斜率是割线趋近切线时的差商:

若直接将h用0取代会得到除以零的结果,因此计算导数需要一些较不直觉的的方式。

同様的,切线斜率也可以用(x - h)和x二点的割线斜率近似。

另外一种二点估计法是用经过(x-h,f(x-h))和(x+h,f(x+h))二点的割线,其斜率为

上述公式称为对称差分,其一次项误差相消,因此割线斜率和切线斜率的差和成正比。对于很小的h而言这个值比单边近似还要准确。特别的是公式虽计算x点的斜率,但不会用到函数在x点的数值。

估计误差为:

,

其中为在之间的某一点。此误差没有包括因为有限准确度而产生的舍入误差。

很多工程计算机都是用对称差分来计算导数,像德州仪器(TI)的TI-82、TI-83、TI-84及TI-85,其h=0.001[2][3]

虽然在实务十分常用,但上述二种方式的数值微分常被研究者批评,尤其是被一些鼓励使用自动微分的研究者批评[4],因为上述的数值微分其精确度不高,若计算器精准度是六位数,用对称差分计算导数只有三位数的精确度,而若是找到一计算斜率的函数,仍可以有几乎六位数的精确度。例如假设f(x) = x2,用2x计算斜率有几乎完整的准确度,而用差分近似就会有上述的问题。

利用浮点数的实际考量

在浮点数运算下,不同的造成的舍入误差及公式误差,只有在特定值下误差才是最小值

若计算时使用浮点数,就需要考虑h要取到多小。若选的太小,相减之后会有大的舍入误差,事实上整个有限差分的公式都是病态的[5],若h够小,导数不为零的情形下,在相消后会得到数值微分为零的结果[6],若h大小,计算割线斜率的结果就会更加准确,但用割线斜率估算切线斜率的误差就更大了。

一种可以产生够小的h,但又不会产生舍入误差的方式是(不过x不能为0),其中最小浮点数英语machine epsilonε大约是2.2×10−16数量级。 [7]。以下是一个一个可以平衡舍入误差和公式误差,有最佳精确度的h

[8] (不过f"(x) = 0时不成立),而且需要有关函数的资讯。

上述的最小浮点数是针对双精度(64-bit)变量,单精度变量在这类计算几乎不太实用。其计算结果在二进制中不太可能是“整数”。虽然x是可以用浮点数表示的数字,但x + h几乎不会也是可用浮点数表示(而且和x不同)的数字,因此x + h需调整为机器可读的数字,因此会出现(x + h) - x不等于h的情形,因此用二个函数计算值计算微分时,二个位置的差不会是h。几乎所有的十进制分数在二进制下都会是循环小数(都像1/3在十进制中的情形一様),例如h = 0.1在二进制下会是循环小数,是 0.000110011001100...。因此在浮点数下一个可能计算的方式是:

 h:=sqrt(eps)*x;
 xph:=x + h;
 dx:=xph - x;
 slope:=(F(xph) - F(x))/dx;

先计算(x + h) - x的值,再用这个值作为微分算式的分母,不过若是用电脑计算,编译器最优化英语Optimizing compiler的机能可能会认为dxh相同,因此让上述的方式失效。若是用C或其他类似的编程语言,可以让xph宣告成Volatile变量,以避免此一问题。

高阶方法

也有用更高阶估计导数的方法,或是估计高阶导数的方法。

以下就是一阶导数的五点法(一维下的五点模版英语five-point stencil[9]

其中.

微分求积

微分求积英语Differential quadrature(Differential quadrature)是用函数在特定位置数值的加权和来近似导数[10][11],其名称类似数值积分中用的求积(quadrature),也就是像梯形法或是辛普森法中用的加权和,有许多方式可找出加权的系数,在求解偏微分方程时会用到微分求积。

复变的方法

传统用有限差分近似数值微分的方式是病态的,不过若是全纯函数,在实轴上的值都是实数,可以用复平面中靠近的位置来求值,此方式为数值稳定的方式,例如[6]一阶导数可以用以下的复数导数公式计算[12]

.

上述公式只在计一阶导数时有效,若要拓展到任意阶导数,需要用到多重复数,结果也会是多重复数的导数。[13]

而任意阶的导数可以用柯西积分公式计算:

,

其中积分会用数值积分计算。

Lyness和Moler在1967年提出用复变数来计算数值微分[14]。Abate和Dubner提出一种用复数拉普拉斯转换的数值反演为基础的算法[15]

参考资料

  1. ^ Richard L. Burden, J. Douglas Faires (2000), Numerical Analysis, (7th Ed), Brooks/Cole. ISBN 0-534-38216-9
  2. ^ Katherine Klippert Merseth. Windows on Teaching Math: Cases of Middle and Secondary Classrooms. Teachers College Press. 2003: 34. ISBN 978-0-8077-4279-2. 
  3. ^ Tamara Lefcourt Ruby; James Sellers; Lisa Korf; Jeremy Van Horn; Mike Munn. Kaplan AP Calculus AB & BC 2015. Kaplan Publishing. 2014: 299. ISBN 978-1-61865-686-5. 
  4. ^ Andreas Griewank; Andrea Walther. Evaluating Derivatives: Principles and Techniques of Algorithmic Differentiation, Second Edition. SIAM. 2008: 2–. ISBN 978-0-89871-659-7. 
  5. ^ Numerical Differentiation of Analytic Functions, B Fornberg - ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS), 1981
  6. ^ 6.0 6.1 Using Complex Variables to Estimate Derivatives of Real Functions, W Squire, G Trapp - SIAM REVIEW, 1998
  7. ^ Following Numerical Recipes in C, Chapter 5.7
  8. ^ p. 263 1
  9. ^ Abramowitz & Stegun, Table 25.2
  10. ^ Differential Quadrature and Its Application in Engineering: Engineering Applications, Chang Shu, Springer, 2000, ISBN 978-1-85233-209-9
  11. ^ Advanced Differential Quadrature Methods, Yingyan Zhang, CRC Press, 2009, ISBN 978-1-4200-8248-7
  12. ^ Martins, JRRA; Sturdza, P; Alonso, JJ. The Complex-Step Derivative Approximation. ACM Transactions on Mathematical Software. 2003, 29 (3): 245–262. doi:10.1145/838250.838251. CiteSeerX: 10.1.1.141.8002. 
  13. ^ 存档副本 (PDF). [2012-11-24]. (原始内容 (PDF)存档于2014-01-09). 
  14. ^ Lyness, J. N.; Moler, C. B. Numerical differentiation of analytic functions. SIAM J.Numer. Anal. 1967, 4: 202–210. doi:10.1137/0704019. 
  15. ^ Abate, J; Dubner, H. A New Method for Generating Power Series Expansions of Functions. SIAM J. Numer. Anal. March 1968, 5 (1): 102–112. doi:10.1137/0705008. 

相关条目

  • 自动微分
  • 差分
  • 五点模板英语Five-point stencil
  • 数值积分
  • 数值常微分方程英语Numerical ordinary differential equations
  • Savitzky–Golay滤波器英语Savitzky–Golay filter
  • 数值分析软件列表英语List of numerical analysis software

外部链接

  • http://mathworld.wolfram.com/NumericalDifferentiation.html
  • https://web.archive.org/web/20130820223117/http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/NumericalDiffMod.html
  • Numerical Differentiation Resources: Textbook notes, PPT, Worksheets, Audiovisual YouTube Lectures at Numerical Methods for STEM Undergraduate
  • ftp://math.nist.gov/pub/repository/diff/src/DIFF Fortran code for the numerical differentiation of a function using Neville's process to extrapolate from a sequence of simple polynomial approximations.
  • NAG Library numerical differentiation routines
  • http://graphulator.com Online numerical graphing calculator with calculus function.
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