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切比雪夫多项式

2018-09-06 14:25:43     所属分类:数值分析

切比雪夫多项式是与棣莫弗定理有关,以递归方式定义的一系列正交多项式序列。 通常,第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示, 第二类切比雪夫多项式用Un表示。切比雪夫多项式 TnUn 代表 n 阶多项式。

切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根(被称为切比雪夫节点)可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象,并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。

在微分方程的研究中,切比雪夫提出切比雪夫微分方程

相应地,第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。 这些方程是斯图姆-刘维尔微分方程的特殊情形。

目录

  • 1 定义
  • 2 从三角函数定义
  • 3 以佩尔方程定义
  • 4 递归公式
  • 5 正交性
  • 6 基本性质
  • 7 最小零偏差
  • 8 两类切比雪夫多项式间的关系
  • 9 例子
  • 10 按切比雪夫多项式的展开式
  • 11 切比雪夫根
  • 12 参看
  • 13 参考

定义

第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定

也可以用母函数表示

第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出

此时母函数为

从三角函数定义

切比雪夫多项式

第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定

其中 n = 0, 1, 2, 3, .... . 是关于 n次多项式,这个事实可以这么看: 是:的实部(参见棣莫弗公式),而从左边二项展开式可以看出实部中出现含的项中,都是偶数次的,从而可以表示成 的幂 。

用显式来表示

尽管能经常碰到上面的表达式,但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数,则有

类似,第二类切比雪夫多项式满足

以佩尔方程定义

切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程

在多项式环Rx 上的解(e.g., 见 Demeyer (2007), p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:

递归公式

两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:

证明的方式是在下列三角关系式中用 代替

正交性

TnUn 都是区间−1,1 上的正交多项式系.

第一类切比雪夫多项式带权

即:

可先令x= cos(θ) 利用 Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可证明.

类似地,第二类切比雪夫多项式带权

即:

其正交化后形成的随机变量是 Wigner 半圆分布).

基本性质

对每个非负整数 都为 次多项式。 并且当为偶(奇)数时,它们是关于 的偶(奇)函数, 在写成关于的多项式时只有偶(奇)次项。

时, 的最高次项系数为 时系数为

最小零偏差

,在所有最高次项系数为1的次多项式中 , 对零的偏差最小,即它是使得 上绝对值的最大值最小的多项式。 其绝对值的最大值为 , 分别在 的其他 个极值点上达到 。

两类切比雪夫多项式间的关系

两类切比雪夫多项式间还有如下关系:

切比雪夫多项式是超球多项式或盖根堡多项式的特例, 后者是雅可比多项式的特例.


切比雪夫多项式导数形式的递推关系可以由下面的关系式推出:

例子

前六个第一类切比雪夫多项式的图像,其中-1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼; 按颜色依次是T0, T1, T2, T3, T4 T5.

前几个第一类切比雪夫多项式是

前六个第二类切比雪夫多项式的图像,其中-1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼; 按颜色依次是U0, U1, U2, U3, U4 U5. 虽然图像中无法显示,我们实际有 Un(1)=n+1 以及 Un(-1)=(n+1)(-1)n.

前几个第二类切比雪夫多项式是

第一类切比雪夫多项式前几阶导数是

按切比雪夫多项式的展开式

一个N 次多项式按切比雪夫多项式的展开式为如下:

多项式按切比雪夫多项式的展开可以用 Clenshaw递推公式计算。

切比雪夫根

两类的n次切比雪夫多项式在区间−1,1上都有n 个不同的根, 称为切比雪夫根, 有时亦称做 切比雪夫节点英语Chebyshev nodes ,因为是多项式插值时的 插值点 . 从三角形式中可看出Tnn个根分别是:

类似地, Unn个根分别是:


参看

  • 切比雪夫节点英语Chebyshev nodes
  • 切比雪夫滤波器

参考

  • M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Chapter 22. New York: Dover, 1972.

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