自由能微扰

2018-09-06 14:28:03 所属分类：计算化学

自由能微扰 （英语：Free Energy Perturbation, 缩写：FEP）是用来计算自由能的一种常用方法。最早由R. W. Zwanzig在1954年提出^[1]。以正则系综为例，从状态A到状态B的自由能变化可以由下式算出：

{displaystyle Delta F(Arightarrow B)=F_{B}-F_{A}=-k_{B}Tln leftlangle exp left(-{frac {H_{B}-H_{A}}{k_{B}T}}right)rightrangle _{A}}

其中T为温度， ${displaystyle H_{A}}$ 和 ${displaystyle H_{B}}$ 分别为状态A和状态B的哈密顿量， ${displaystyle k_{B}}$ 为玻尔兹曼常数， ${displaystyle langle rangle }$ 表示在状态A的系综中取系综平均。简单而言，为了计算状态A与状态B之间的自由能差，只需通过在状态A的系综中对两状态之间的能量差采样，然后求平均即可。采样可以使用分子动力学或者蒙特卡洛方法模拟。

原理

以正则系综为例，已知状态A的配分函数为 ${displaystyle Q_{A}}$

{displaystyle Q_{A}=int d{textbf {r}}^{N}{textbf {p}}^{N}e^{-beta H_{A}({textbf {r}}^{N},{textbf {p}}^{N})},}

其中 ${displaystyle beta =1/k_{B}T}$ 。那么状态B的配分函数 ${displaystyle Q_{B}}$ 可以做如下改写

{displaystyle {begin{aligned}Q_{B}&=int d{textbf {r}}^{N}{textbf {p}}^{N}e^{-beta H_{B}({textbf {r}}^{N},{textbf {p}}^{N})}\&=int d{textbf {r}}^{N}{textbf {p}}^{N}e^{-beta H_{A}({textbf {r}}^{N},{textbf {p}}^{N})}e^{-beta H_{B}({textbf {r}}^{N},{textbf {p}}^{N})-H_{A}({textbf {r}}^{N},{textbf {p}}^{N})}\&=Q_{A}int d{textbf {r}}^{N}{textbf {p}}^{N}{frac {e^{-beta H_{B}({textbf {r}}^{N},{textbf {p}}^{N})-H_{A}({textbf {r}}^{N},{textbf {p}}^{N})}}{Q_{A}}}\&=Q_{A}langle e^{-beta H_{B}-H_{A}}rangle _{A}end{aligned}}}

即

{displaystyle {frac {Q_{B}}{Q_{A}}}=langle e^{-beta H_{B}-H_{A}}rangle _{A}}

而状态B与A之间的自由能差

{displaystyle {begin{aligned}Delta F(Arightarrow B)&=F_{B}-F_{A}\&=-(k_{B}Tln Q_{B}-k_{B}Tln Q_{A})\&=-k_{B}Tln {frac {Q_{B}}{Q_{A}}}end{aligned}}}

故有

{displaystyle Delta F(Arightarrow B)=F_{B}-F_{A}=-k_{B}Tln leftlangle exp left(-{frac {H_{B}-H_{A}}{k_{B}T}}right)rightrangle _{A}}

。

应用

自由能微扰被广泛应用于各种自由能的计算，并被集成到各种分子模拟软件中，包括：

AMBER^[2]
BOSS
CHARMM
Desmond
GROMACS
MacroModel
MOLARIS
NAMD
Tinker

在使用自由能微扰进行自由能计算的时候，需要注意由于状态A与B之间能量差太大而导致的采样不足问题^[3]。在这种情况下，需要把A到B之间划分成多个窗口进行采样，或者采用其他自由能计算方法，比如Bennett acceptance ratio 以及 Umbrella Sampling。

参考资料

^ Zwanzig, R. W. J. Chem. Phys. 1954, 22, 1420-1426. doi:10.1063/1.1740409
^ http://www.ambermd.org
^ Pohorille A, Jarzynski C, Chipot C J Phys Chem B. 2010 Aug 19;114(32):10235-53. doi: 10.1021/jp102971x.