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精确对角化法

在量子力学中的一个量子系统,物理学家最有兴趣的是找出这个量子系统的基态,也就是能量本征值最小的态,例如:两个自旋1/2的粒子所形成的量子系统中,若粒子之间的交互作用可写成

其中表示第个自旋的包立矩阵。将上面4×4的矩阵对角化后可得本征值:,对应的本征向量为,而 即为这个系统中的基态。

可想而知,随着量子系统的粒子数变多,且交互作用愈来愈复杂时,量子系统的基态很难用解析的方法计算出来,因此许多物理学家转向利用数值方法来求得基态。

精确对角化法(exact diagonaliation)是一个最直接求得基态的数值方法,但由于将哈密顿算符完整对角化非常花费时间与电脑内存,所以当需要的只是基态和少数激发态,通常利用Lanczos算法和Davidson算法。精确对角化法本身的物理概念极为简单,若是只需要得到极小尺寸的结果,在程式撰写方面也很容易,然而增加系统尺寸时,随着所需的内存暴增,程式设计变得非常困难。主要困难之处在于如何有效运用有限的内存,以及提升程式运作的效率。目前电脑的条件下,精确对角化法的尺寸极限如下:

  1. 一维自旋-1/2的环:36个格点。
  2. 二维自旋-1/2的平方晶格:40个格点。
  3. 二维t-J模型的平方晶格:32个格点,4个电洞。
  4. 二维Hubbard模型的平方晶格:32个格点。
  5. 一维Holstein 链:14个格点。

完整对角化法(Householder method)

Lanczos算法

Lanczos算法是由数学家Cornelius Lanczos所发明。

对称性与好量子数


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