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Sinc函数

2018-08-20 14:45:57     所属分类:信号处理
x = −6π 到 6π 区间显示在同样尺度上的归一化 sinc(x)(蓝色)与非归一化 sinc 函数(红色)

sinc函数,用 表示,有两个定义,有时区分为归一化sinc函数和非归一化的sinc函数。它们都是正弦函数和单调递减函数 1/x的乘积:

  1. 在数字信号处理和通信理论中,归一化sinc函数通常定义为
  2. 在数学领域,历史上非归一化sinc函数 (for sinus cardinalis)定义为

在这两种情况下,函数在 0 点的奇异点有时显式地定义为 1,sinc 函数处处可解析。

非归一化sinc函数等同于归一化sinc函数,只是它的变量中没有放大系数 π 。

目录

  • 1 属性
  • 2 与狄拉克δ分布的关系
  • 3 参考文献
  • 4 外部链接
  • 5 参见

属性

Re Sinc complex plot
Im Sinc complex plot
Abs Sinc complex plot

归一化 sinc 函数的特性使得它在插值与带限函数中得到理想应用:

  • 对于 (整数),;也就是说,它是一个插值函数。
  • 函数 在函数空间 形成一个带限函数的正交基,它的最大角频率是 ,也就是说最大的循环频率是

这两个 sinc 函数的其它特性包括:

  • 非归一化 sinc 函数 ;对应于它与余弦函数的交点。也就是说,如果 的导数是 0 ,即在 有极值,那么
  • 非归一化 sinc 是第一类零阶球贝塞尔函数。归一化 sinc 是
  • 非归一化 sinc 的过零点是 的非零倍数;归一化 sinc 函数    的过零点出现在非零整数。
  • 归一化 sinc 函数    的对于普通频率的连续傅里叶变换是  
,
其中矩形函数在 –1/2 到 1/2 之间值为 1,在其它区域值为 0。
  • 积分
是广义积分。因为:

所以它不是勒贝格积分。

其中 是 Γ函数。

与狄拉克δ分布的关系

尽管不是分布,归一化 sinc 函数也可以作为 nascent δ函数(参见狄拉克δ函数)使用。

归一化 sinc 函数通过下式与δ分布 δ(x) 发生联系

由于等式左侧并不收敛,所以这不是普通的 limit,而是说明对于任意的紧支撑平滑函数

在上面的表达式中,随着 a 趋近于 0,sinc 函数每个单元长度上的振动次数趋近于无限,然而不管 a 是什么值,这个表示通常在 ±1/(πx) 内振动。这与 δ(x) 的非正式表示有所矛盾,δ(x) 除了 x=0 之外其它 x 上的值都是 0,这表明了将δ函数作为函数而不是分布带来的问题。在吉布斯现象(Gibbs phenomenon)中也有类似的状况。

参考文献

外部链接

  • 埃里克·韦斯坦因. Sinc Function. MathWorld. 

参见

  • 抗混叠
  • Sinc滤波器
  • Whittaker–Shannon 插值公式英语Whittaker–Shannon interpolation formula

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