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加伯变换

2018-08-20 14:49:04     所属分类:信号处理

加伯变换是窗函数为高斯函数的短时距傅立叶变换。

目录

  • 1 数学定义
  • 2 为何选择高斯函数作为窗函数
  • 3 由测不准原理了解高斯函数的性质
  • 4 加伯变换的一般化
  • 5 特性
  • 6 优缺点
  • 7 参考书目、资料来源

数学定义

将短时距傅立叶变换中的窗函数代入高斯函数,即可得下面的定义。

根据高斯函数会从两侧递减的性质,我们可以将上式进一步化简:

让积分范围不是无限大,有利于实作。

为何选择高斯函数作为窗函数

  1. 其他窗函数的短时距傅立叶变换,如短时距傅立叶变换提到的方形窗函数,无法同时兼顾时间轴和频率轴的分辨率;一者分辨率提升,另一者分辨率必定下降。但高斯函数由海森堡测不准原理可得知,是最能同时让两轴兼顾分辨率的窗函数(将于下个章节详述)。
  2. 高斯函数为傅立叶转换的特征函数,因此经过转换后其性质不变。因此可让加伯变换后在时间轴和频率轴的性质相互对称。

由测不准原理了解高斯函数的性质

上述提到,高斯函数是最能兼顾时间与频率分辨率的窗函数。我们利用这个章节来详细讨论。

  • 海森堡测不准原理:
对于一个信号 ,当,若,则
其中
由于两者变异数相乘有下限,这个定理说明了我们没有办法同时精准量测时间和频率,其中一者变异数下降(分辨率上升),另一者变异数就上升(分辨率下降)。
加伯变换后的结果,横轴是时间(秒),纵轴是频率(赫兹)
  • 当信号为高斯函数时
即高斯函数满足测不准定理的最下限,所以是窗函数中能使时间和频率两者分辨率都达到最高的函数。
  • 以下提供一个简单的例子来做模拟,
右图为即加伯变换的结果,可以看出其时间和频率都维持相当程度的分辨率。

加伯变换的一般化

由于高斯窗函数的宽度可以由其变异数做调整,因此我们将这个参数加入加伯变换的数学式子中,让转换更加弹性。

改变高斯函数的宽度,和改变方形窗函数短时距傅立叶变换的效果类似。若选取较大的,高斯窗函数较窄,则时间轴有较高的分辨率,频率轴的分辨率会下降。反之,若选取较小的,高斯窗函数较宽,则时间的分辨率下降,频率轴的分辨率会上升。虽然还是有两轴之间的分辨率的牺牲,但比起其他无法满足测不准原理下限的窗函数,加伯变换的两轴还是能相对维持较高的分辨率。

特性

加伯变换的大部分的特性和方形窗函数短时距傅立叶转换的特性都相似,有些特性甚至更加接近傅立叶转换的特性。

  • 积分特性
(还原成原始信号)
  • 位移特性
,则
  • 调变特性
,则
  • 线性特性
若有一信号分别为做加伯变换的结果,则
  • 能量积分特性
  • 特殊信号
1. 当
2. 当
和方形窗函数短时傅立叶转换不同的是,加伯变换的结果对于时间和频率轴较对称,也比较没有旁波(sidelobe);也印证了上述所说的,加伯变换较能维持两个轴的分辨率。

优缺点

  • 优点: 时频图较清晰
  • 缺点: 计算复杂度比方形窗函数短时傅立叶变换来的高,因为需做窗函数内与信号本身的乘法。


参考书目、资料来源

  1. Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class notes, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2011.
  2. Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer, John R. Buck : Discrete-Time Signal Processing, Prentice Hall, ISBN 0-13-754920-2
  3. S. Qian and D. Chen, Joint Time-Frequency Analysis: Methods and Applications, Chap. 5, Prentice Hall, N.J., 1996.

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