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过冲

2018-08-20 14:54:10     所属分类:信号处理
过冲示意图,伴有振铃和安定时间。

在信号处理、控制理论、电子学以及数学中,过冲英语:overshoot),也称超调[1],是指信号或者函数超过了预期值。常见于类似低通滤波器的频带限制英语Bandlimiting系统中阶跃响应阶段,通常会跟随有伴生的振铃。

目录

  • 1 定义
  • 2 控制理论
  • 3 电子学
  • 4 数学
  • 5 信号处理
  • 6 相关概念
  • 7 参见
  • 8 参考资料

定义

在尾形克彦的《离散时间控制系统》中,最大过冲量被定义为:“从系统期望响应值计算,响应曲线的最大峰值”。[2]

控制理论

在控制理论中,过冲是指输出超过了它的最终稳态值。[3]

对于阶跃输入,过冲率(percentage overshoot, PO)是指过冲最大值减去阶跃值再除以阶跃值。在单位阶跃中,过冲是最大阶跃响应值减一。

过冲率是基于阻尼系数 ζ 的函数:

阻尼系数可表示为:

电子学

电子信号中过冲与下冲。

在电子学中,过冲是指,从一个值转变到另一个值时,任何参数的瞬时值超过它的最终(稳态)值。过冲在放大器的输出信号中有重要的意义。[4]

惯例: 过冲发生于瞬时值超过最终值。当瞬时值低于最终值时,也称为“下冲(undershoot)”。

一般电路设计,多半会使上升时间英语Rise time最小化,同时也将失真限制在可接受范围内。

  1. 过冲表现为信号的失真。
  2. 在电路设计中,最小化过冲与减小上升时间的目标会发生冲突。
  3. 过冲的大小依赖于经历阻尼现象的时间。
  4. 过冲通常伴有安定时间,即输出到达稳态的时长。

数学

正弦积分可以用来表示过冲

在函数近似时,过冲也是用来描述近似品质的一个特点。若一函数(例如方波)用许多函数的和(例如傅里叶级数或是正交多项式展开)来表示时,在原函数转折的部分可能就会有过冲、下冲及振铃的情形。若多项式的项次越多,近似函数和原函数的偏差也会减缓。不过近似项次越多,振荡周期会变长,但其振幅却不会改变[5],这就是吉布斯现象。在傅里叶变换中,这可以用在一定频率以下的函数近似阶跃函数来表示,结果会得到正弦积分。可以用和Sinc函数的卷积来表示,在信号处理中,这是低通滤波器。

信号处理

(图下方的)过冲,是因为用非锐化滤镜英语unsharp masking来锐化影相所造成
正弦积分是理想低通滤波器的阶跃响应
Sinc函数是理想低通滤波器的冲激响应

信号处理中的过冲是指一滤波器英语Filter (signal processing)输出的最大值比输入的最大值大,特别是针对阶跃响应,而且经常会伴随振铃效应。

像是用Sinc滤波器(例如用矩形低通滤波器)就会出现过冲的情形,其阶跃响应为正弦积分

其过冲及下冲可以用这个方式来说明:一般变换的核函数会经过正规化,使其积分为一,因此将常数函数变换会得到原常数函数,不会有额外的增益。在某一点的卷积是输入信号的线性组合,再以核函数的值为其(加权)系数。若核函数没有负值(例如高斯函数),则滤波后信号的数值会是输入信号的凸组合(核函数积分为一,而且数值非负),因此会在最大值和最小值之间,此值不会有过冲也不会有下冲。不过若核函数有负值(例如Sinc函数),滤波后信号的数值会是输入信号的仿射组合英语affine combination,输出数值就可能在输入信号的最大值及最小值以外,因此会有过冲及下冲的情形。

一般来说过冲是不好的,尤其是会造成削波英语Clipping (signal processing)的情形下,不过有时若要锐化影像,会需要过冲,因为会增加锐度。

相关概念

与过冲非常相关的是振铃,它紧随过冲发生,信号会跌落到低于稳态值,然后可能会反弹到高于稳态,这个过程可能持续一段时间,直到稳定接近于稳态。振铃持续的时间也叫做安定时间。

在社会生态学中,有类似的过冲的概念,是指人口数超过系统的承受容量。

参见

  • 阶跃响应
  • 振铃
  • 安定时间
  • 阻尼
  • 积分饱和

参考资料

  1. ^ 电工名词审定委员会. 电工名词. 科学出版社. 1998. ISBN 7-03-006721-5. 
  2. ^ 尾形克彦. Discrete-time control systems. Prentice-Hall. 1987: 344. ISBN 0132161028. 
  3. ^ Kuo, Benjamin C & Golnaraghi M F. Automatic control systems Eighth edition. NY: Wiley. 2003: §7.3 p. 236–237. ISBN 0471134767. 
  4. ^ Phillip E Allen & Holberg D R. CMOS analog circuit design Second edition. NY: Oxford University Press. 2002. Appendix C2, p. 771. ISBN 0-19-511644-5. 
  5. ^ Gerald B Folland. Fourier analysis and its application. Pacific Grove, Calif.: Wadsworth: Brooks/Cole. 1992: 60–61. ISBN 0-534-17094-3. 

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