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基尔霍夫电路定律

2018-08-21 09:53:19     所属分类:电路
古斯塔夫·基尔霍夫

基尔霍夫电路定律Kirchhoff Circuit Laws)简称为基尔霍夫定律,指的是两条电路学定律,基尔霍夫电流定律基尔霍夫电压定律。它们涉及了电荷的守恒及电势的保守性。1845年,古斯塔夫·基尔霍夫首先提出基尔霍夫电路定律。现在,这定律被广泛地应用于电气工程学。

从麦克斯韦方程组可以推导出基尔霍夫电路定律。但是,基尔霍夫并不是依循这条思路发展,而是从格奥尔格·欧姆的工作成果加以推广得之。

目录

  • 1 基尔霍夫电流定律
    • 1.1 导引
    • 1.2 含时电荷密度
    • 1.3 应用
  • 2 基尔霍夫电压定律
    • 2.1 电场与电势
    • 2.2 理论限制
  • 3 频域
  • 4 参见
  • 5 参考
  • 6 外部链接

基尔霍夫电流定律

所有进入节点的电流的总和等于所有离开这节点的电流的总和。对于本图案例,

基尔霍夫电流定律又称为基尔霍夫第一定律,表明[1]

所有进入某节点的电流的总和等于所有离开这节点的电流的总和。

或者,更详细描述,

假设进入某节点的电流为正值,离开这节点的电流为负值,则所有涉及这节点的电流的代数和等于零。

以方程表达,对于电路的任意节点,

其中, 是第 个进入或离开这节点的电流,是流过与这节点相连接的第 个支路的电流,可以是实数或复数。

由于累积的电荷(单位为库仑)是电流(单位为安培)与时间(单位为秒)的乘积,从电荷守恒定律可以推导出这条定律。其实质是稳恒电流的连续性方程,即根据电荷守恒定律,流向节点的电流之和等于流出节点的电流之和。[2]

导引

思考电路的某节点,跟这节点相连接有 个支路。假设进入这节点的电流为正值,离开这节点的电流为负值,则经过这节点的总电流 等于流过支路 的电流 的代数和:

将这方程积分于时间,可以得到累积于这节点的电荷的方程:

其中, 是累积于这节点的总电荷, 是流过支路 的电荷, 是检验时间, 是积分时间变数。

假设 ,则正电荷会累积于节点;否则,负电荷会累积于节点。根据电荷守恒定律, 是个常数,不能够随着时间演进而改变。由于这节点是个导体,不能储存任何电荷。所以, ,基尔霍夫电流定律成立:

含时电荷密度

从上述推导可以看到,只有当电荷量为常数时,基尔霍夫电流定律才会成立。通常,这不是个问题,因为静电力相斥作用,会阻止任何正电荷或负电荷随时间演进而累积于节点,大多时候,节点的净电荷是零。

不过,电容器的两块导板可能会允许正电荷或负电荷的累积。这是因为电容器的两块导板之间的空隙,会阻止分别累积于两块导板的异性电荷相遇,从而互相抵消。对于这状况,流向其中任何一块导板的电流总和等于电荷累积的速率,而不是零。但是,若将位移电流 纳入考虑,则基尔霍夫电流定律依然有效。详尽细节,请参阅条目位移电流。只有当应用基尔霍夫电流定律于电容器内部的导板时,才需要这样思考。若应用于电路分析(circuit analysis)时,电容器可以视为一个整体元件,净电荷是零,所以原先的电流定律仍适用。

由更技术性的层面来说,取散度于麦克斯韦修正的安培定律,然后与高斯定律相结合,即可得到基尔霍夫电流定律:

其中, 是电流密度, 是电常数, 是电场, 是电荷密度。

这是电荷守恒的微分方程。以积分的形式表述,从封闭表面流出的电流等于在这封闭表面内部的电荷 的流失率:

基尔霍夫电流定律等价于电流的散度是零的论述。对于不含时电荷密度 ,这定律成立。对于含时电荷密度,则必需将位移电流纳入考虑。

应用

以矩阵表达的基尔霍夫电流定律是众多电路模拟软件(electronic circuit simulation)的理论基础,例如,SPICE或NI Multisim。

基尔霍夫电压定律

沿着闭合回路所有元件两端的电压的代数和等于零。对于本图案例,

基尔霍夫电压定律又称为基尔霍夫第二定律,表明[1]

沿着闭合回路所有元件两端的电势差(电压)的代数和等于零。

或者,换句话说,

沿着闭合回路的所有电动势的代数和等于所有电压降的代数和。

以方程表达,对于电路的任意闭合回路,

其中, 是这闭合回路的元件数目, 是元件两端的电压,可以是实数或复数。

基尔霍夫电压定律不仅应用于闭合回路,也可以把它推广应用于回路的部分电路。[需要解释]

电场与电势

在静电学里,电势定义为电场的负线积分:

其中, 是电势, 是电场, 是从参考位置到位置 的路径, 是这路径的微小线元素。

那么,基尔霍夫电压定律可以等价表达为:

其中, 是积分的闭合回路。

这方程乃是法拉第电磁感应定律对于一个特殊状况的简化版本。假设通过闭合回路 的磁通量为常数,则这方程成立。

这方程指明,电场沿着闭合回路 的线积分为零。将这线积分切割为几段支路,就可以分别计算每一段支路的电压。

理论限制

由于含时电流会产生含时磁场,通过闭合回路 的磁通量是时间的函数,根据法拉第电磁感应定律,会有电动势 出现于闭合回路 。所以,电场沿着闭合回路 的线积分不等于零。这是因为电流会将能量传递给磁场;反之亦然,磁场亦会将能量传递给电流。

对于含有电感器的电路,必需将基尔霍夫电压定律加以修正。由于含时电流的作用,电路的每一个电感器都会产生对应的电动势 。必需将这电动势纳入基尔霍夫电压定律,才能求得正确答案。

频域

思考单频率交流电路的任意节点,应用基尔霍夫电流定律

其中, 是第 个进入或离开这节点的电流, 是其振幅, 是其相位, 是角频率, 是时间。

对于任意时间,这方程成立。所以,设定相量 ,则可以得到频域的基尔霍夫电流定律,以方程表达,

频域的基尔霍夫电流定律表明:

所有进入或离开节点的电流相量的代数和等于零。

这是节点分析的基础定律。

类似地,对于交流电路的任意闭合回路,频域的基尔霍夫电压定律表明:

沿着闭合回路所有元件两端的电压相量的代数和等于零。

以方程表达,

其中, 是闭合回路的元件两端的电压相量。

这是网目分析(mesh analysis)的基础定律。

参见

参考

  1. ^ 1.0 1.1 Alexander, Charles; Sadiku, Matthew, Fundamentals of Electric Circuits 3, revised, McGraw-Hill: pp. 37–43, 2006, ISBN 9780073301150 
  2. ^ 普通物理学(修订版)(化学数学专业用).汪昭义 主编.华东师范大学出版社.P320.9.3 基尔霍夫定律.ISBN 978-8-5617-0444-8/N·018
  • Paul, Clayton R. Fundamentals of Electric Circuit Analysis. John Wiley & Sons. 2001. ISBN 978-0-471-37195-3. 
  • Serway, Raymond A.; Jewett, John W. Physics for Scientists and Engineers (6th ed.). Brooks/Cole. 2004. ISBN 978-0-534-40842-8. 
  • Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Electricity, Magnetism, Light, and Elementary Modern Physics (5th ed.). W. H. Freeman. 2004. ISBN 978-0-7167-0810-0. 

外部链接

  • 麻省理工学院电气工程系视听教学:基尔霍夫定律。
  • 国立交通大学物理系视听教学:电子学[失效链接]
  • 1

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