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电势能

2018-08-21 09:58:41     所属分类:电力
在这篇文章内,矢量与标量分别用粗体与斜体显示。例如,位置矢量通常用 表示;而其大小则用 来表示。

在静电学里,电势能Electric potential energy)是处于电场的电荷分布所具有的势能,与电荷分布在系统内部的组态有关。电势能的单位是焦耳。电势能与电势不同。电势定义为处于电场的电荷所具有的电势能每单位电荷。电势的单位是伏特。

电势能的数值不具有绝对意义,只具有相对意义。所以,必须先设定一个电势能为零的参考系统。当物理系统内的每一个点电荷都互相分开很远(分开距离为无穷远),都相对静止不动时,这物理系统通常可以设定为电势能等于零的参考系统。[1]:§25-1假设一个物理系统里的每一个点电荷,从无穷远缓慢地被迁移到其所在位置,总共所做的机械功为 ,则这物理系统的电势能

在这过程里,所涉及的机械功 ,不论是正值或负值,都是由这物理系统之外的机制赋予,并且,缓慢地被迁移的每一个点电荷,都不会获得任何动能。

如此计算电势能,并没有考虑到移动的路径,这是因为电场是保守场,电势能只跟初始位置与终止位置有关,与路径无关。

目录

  • 1 计算电势能
  • 2 储存于点电荷系统内的电势能
    • 2.1 单点电荷系统
    • 2.2 双点电荷系统
    • 2.3 三个以上点电荷的系统
  • 3 储存于连续电荷分布的能量
  • 4 自身能与相互作用能
  • 5 参考文献

计算电势能

在一个物理系统内,计算一个点电荷所具有的电势能的方法,就是计算将这点电荷Q从无穷远位置迁移到其它固定位置电荷附近所需要做的机械功。而这计算只需要两项资料:

  1. 其它电荷所产生的电势。
  2. 这点电荷Q的电荷量。

注意到这计算不需要知道其它电荷的电荷量,也不需要知道这点电荷Q所产生的电势。

储存于点电荷系统内的电势能

单点电荷系统

只拥有单独一个点电荷的物理系统,其电势能为零,因为没有任何其它可以产生电场的源电荷,所以,将点电荷从无穷远移动至其最终位置,外机制不需要对它做任何机械功。特别注意,这点电荷有可能会与自己生成的电场发生作用。然而,由于在点电荷的位置,它自己生成的电场为无穷大,所以,在计算系统的有限总电势能之时,一般刻意不将这“自身能”纳入考量范围之内,以简化物理模型,方便计算。

双点电荷系统

一个质子受到的另一个质子的电场力和电势能随 变化的示意图。

思考两个点电荷所组成的物理系统。假设第一个点电荷 的位置为坐标系的原点 ,则根据库仑定律,点电荷 施加于位置为 的第二个点电荷 的电场力为

其中, 是电常数。

在迁移点电荷 时,为了要抗拒电场力,外机制必需施加作用力 于点电荷 。所以,机械功

由于库仑力为保守力,机械功与积分路径 无关,所以,可以选择任意一条积分路径。在这里,最简单的路径为从无穷远位置朝着 方向迁移至 位置的直线路径。那么,机械功为

这机械功是无穷远位置与 位置之间的静电能差别:

设定 ,则

现在,假设两个点电荷的位置分别为 ,则电势能为

其中, 是两个点电荷之间的距离。

假设两个点电荷的正负性相异,则电势能为负值,两个点电荷会互相吸引;否则,电势能为正值,两个点电荷会互相排斥。

三个以上点电荷的系统

对于三个点电荷的系统,外机制将其每一个单独点电荷,一个接着一个,从无穷远位置迁移至最终位置,所需要做的机械功,就是整个系统的静势能。以方程表示,

其中, 为点电荷, 为第i个与第j个点电荷之间的距离。

按照这方法演算,对于多个点电荷的系统,按照顺序,从第一个点电荷到最后一个点电荷,各自缓慢迁移到最后对应位置。在第 个点电荷 迁移时,只会感受到从第 个点电荷到第 个点电荷的电场力,而机械功 是因为抗拒这些电场力而做出的贡献:

所有点电荷做出的总机械功(即总电势能)为[2]

将每一个项目重复多计算一次,然后将总合除以 ,这公式也可以表达为,

这样,可以忽略点电荷的迁移顺序。

注意到除了点电荷 以外,所有其它点电荷产生的电势在位置

所以,离散点电荷系统的总电势能为

  • 上述方程假设电介质是自由空间,其电容率为 ,即电常数。假设电介质不是自由空间,而是电容率为 的某种电介质,则必需将方程内的 更换为

储存于连续电荷分布的能量

对于连续电荷分布,前面的电势能方程变为[2]

其中, 是在源位置 的电荷密度, 是积分体积。

应用高斯定律

 ;

其中, 是电场。

电势能为

应用散度定理,可以得到

其中, 是包住积分体积 的闭曲面。

当积分体积 趋向于无限大时,闭曲面 的面积趋向于以变率 递增,而电场、电势分别趋向于以变率 递减,所以,上述方程右手边第一个面积分项目趋向于零,电势能变为

电场与电势的微分关系为

将这方程代入,电势能变为

所以,电势能密度

自身能与相互作用能

前面分别推导出两个电势能方程:

注意到第一个方程计算得到的电势能,可以是正值,也可以是负值;但从第一个方程推导出来的第二个方程,其计算得到的电势能则必定是正值。为什么会发生这不一致问题?原因是第一个方程只囊括了电荷与电荷之间的相互作用能;而第二个方程在推导过程中,无可避免地将电荷的自身能也包括在内。在推导第一个方程时,在位置 的电势乃是,除了 以外,所有其它电荷共同贡献出的电势;而在推导第二个方程时,电势乃是所有电荷共同贡献出的电势。

举一个双点电荷案例,假设电荷 的位置分别为 ,则在任意位置 的电场为[2]

其电势能密度为

很明显地,这方程右手边的前两个项目分别为电荷 的自身能密度 。最后一个项目是否为相互作用能密度?为了回答这有意思的问题,继续计算相互作用能密度的体积积分:

应用一条矢量恒等式,

可以得到

应用散度定理,可以将这方程右手边第一个项目,从体积积分变为面积积分:

其中, 是包住积分体积 的闭曲面。

假设 趋向于无穷大空间,则这面积积分趋向于零。再应用一则关于狄拉克δ函数的矢量恒等式

可以得到

这正是双点电荷系统的电势能。

参考文献

  1. ^ Halliday, David; Resnick, Robert; Walker, Jearl. Electric Potential. Fundamentals of Physics 5th. John Wiley & Sons. 1997. ISBN 0-471-10559-7. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 40–43, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1 

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