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欧拉运动定律

2018-07-31 16:13:12     所属分类:连续介质力学
莱昂哈德·欧拉

欧拉运动定律Euler's laws of motion)是牛顿运动定律的延伸,可以应用于多粒子系统运动或刚体运动,描述多粒子系统运动或刚体的平移运动、旋转运动分别与其感受的力、力矩之间的关系。在艾萨克·牛顿发表牛顿运动定律之后超过半个世纪,于1750年,莱昂哈德·欧拉才成功地表述了这定律。[1][2]

刚体也是一种多粒子系统,但理想刚体是一种有限尺寸,可以忽略形变的固体。不论是否感受到作用力,在刚体内部,点与点之间的距离都不会改变。

欧拉运动定律也可以加以延伸,应用于可变形体(deformable body)内任意部分的平移运动与旋转运动。

目录

  • 1 刚体
    • 1.1 欧拉第一运动定律
      • 1.1.1 导引
      • 1.1.2 动量守恒定律
    • 1.2 欧拉第二运动定律
      • 1.2.1 导引
      • 1.2.2 相对于质心的欧拉第二运动定律
  • 2 可变形体
  • 3 参阅
  • 4 参考文献

刚体

欧拉第一运动定律

欧拉第一定律表明,从某惯性参考系观测,施加于刚体的合外力,等于刚体质量与质心加速度的乘积。[3]欧拉第一定律以方程表达为

其中, 是刚体感受到的合外力, 分别是刚体的质量、质心加速度。

刚体的平移运动等同于位于其质心、具有其质量的粒子,感受到同样的合外力,而呈现的运动。

导引

思考由 个粒子组成的多粒子系统,其质心位置

 ;

其中, 分别为第 个粒子的质量、位置, 是系统的质量。

质心速度

其中, 是第 个粒子的速度。

质心加速度

其中, 是第 个粒子的加速度。

个粒子感受到的力

其中, 是这粒子感受到的外力, 是第 个粒子施加于第 个粒子的内力。

系统感受到的合力 是所有粒子感受到的力的矢量和:

根据牛顿第三定律,内力与其反作用力的关系为

所以,所有粒子彼此施加于对方的内力的矢量和为零,合力等于所有外力的矢量和 (合外力 ):

根据牛顿第二定律,第 个粒子感受到的力 与这粒子的加速度之间的关系为

总和所有粒子所感受到的力,

所以,合外力 与质心加速度的关系为

动量守恒定律

多粒子系统的动量 是组成这系统的所有粒子的动量的矢量和:

其中, 是第 个粒子的动量。

欧拉第一定律又可以表达为

假设合外力为零,则系统的动量守恒。

欧拉第二运动定律

欧拉第二定律表明,设定某惯性参考系的固定点O(例如,原点)为参考点,施加于刚体的净外力矩,等于角动量的时间变化率。欧拉第二定律以方程表达为

其中, 是对于点O合外力矩, 是对于点O的角动量。

导引

思考由 个粒子组成的多粒子系统。对于点O,第 个粒子的角动量

对于时间的导数为

根据牛顿第二定律,施加于第 个粒子的力 是这粒子的质量与加速度的乘积。所以, 对于时间的导数为

个粒子所感受到的合力矩 。所以, 的关系为

总和所有粒子所感受到的合力矩,系统所感受到的合力矩 与其角动量 的关系为

个粒子所感受到的合力

个粒子所感受到的合力矩

物体感受到的合力矩 为:

应用牛顿第三定律,

其中, 是从粒子 到粒子 的位移矢量。

假设这系统的粒子遵守强版牛顿第三定律,即粒子运动为经典运动,速度超小于光速,则 同向,叉积为零。那么,物体感受到的合力矩是所有外力矩的矢量和

这样,可以得到欧拉第二定律方程

假设施加于系统的合外力矩为零,则系统的角动量的时间变化率为零,系统的角动量守恒。

相对于质心的欧拉第二运动定律

所有粒子所感受到的合力矩的矢量和为

其中, 分别是第 个粒子相对于质心的相对位移与相对加速度。

注意到所有粒子的相对位移与相对加速度,其矢量和分别为零,所以,

现在,假设将质心设定为参考点,则 ,方程变为

以质心为参考点,角动量

所以,不论质心参考系是否为惯性参考系(即不论质心是否呈加速度运动),以质心为参考点,合外力矩等于角动量的时间变化率:

可变形体

在可变形体内部任意位置的内力密度不一定一样,也就是说,其内部存在有应力分布。这内部的内力的变化是由牛顿第二定律主控。通常,牛顿第二定律是应用于计算质点或粒子的动力运动,但在连续介质力学里,被加以延伸后,可以应用于计算具有连续分布质量的物体的运动行为。假设将物体模型化为由一群离散粒子组构而成,每一个粒子的运动都遵守牛顿第二定律,则可以推导出欧拉运动定律。不论如何,欧拉运动定律也可以直接视为专门描述大块物体运动的公理,与物体结构无关。[4]

在塑性力学(plasticity theory)里,施加于一个连续物体B的力可以分类为两种:“长程力”与“短程力”。长程力作用于整个物体的每一部分,称为彻体力(body force),而短程力只能作用于物体表面,称为接触力(contact force)。这样,施加于连续物体的合力 分为净彻体力 、净接触力

其中, 是彻体力场(量纲为力每单位质量), 是微小质量元素, 是质量密度, 是微小体元素, 是积分体区域, 是表面曳力(surface traction)密度, 是微小面元素, 是积分曲面。

由于彻体力与接触力施加于物体,造成了以某设定点为参考点的对应力矩。这样,对于原点的合力矩 分为净彻体力矩 、净接触力矩

其中, 是微小体元素或微小面元素的位置。

欧拉第一定律(“力平衡定律”)表明,从某惯性参考系观测,施加于连续物体内部任意部分的合外力等于净动量的时间变化率:

也就是说,

其中, 是微小体元素的速度。

欧拉第二定律(“角动量平衡定律”)表明,从某惯性参考系观测,施加于连续物体内部任意部分的合力矩等于净角动量的时间变化率:

也就是说,

参阅

  • 欧拉方程 (刚体运动)
  • 欧拉旋转定理

参考文献

  1. ^ Beatty, Millard F. Principles of engineering mechanics Volume 2 of Principles of Engineering Mechanics: Dynamics-The Analysis of Motion,. Springer. 2006: pp. 405. ISBN 0387237046. 
  2. ^ Bradley, Robert E., Sandifer, Charles. Leonhard Euler: life, work and legacy Volume 5 of Studies in the history and philosophy of mathematics. Elsevier. 2007: pp. 196. ISBN 9780444527288. 
  3. ^ Rao, Anil Vithala. Dynamics of particles and rigid bodies. Cambridge University Press. 2006: 355. ISBN 978-0-521-85811-3. 
  4. ^ Lubliner, Jacob. Plasticity Theory (Revised Edition) (PDF). Dover Publications. 2008: pp. 27–28. ISBN 0486462900. (原始内容 (PDF)存档于2010-03-31). 

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