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LQR控制器

2018-12-23 23:30:54     所属分类:最佳控制

最优控制理论主要探讨的是让动力系统以在最小成本来运作,若系统动态可以用一组线性微分方程表示,而其成本为二次泛函,这类的问题称为线性二次(LQ)问题。此类问题的解即为线性二次调节器英语:linear–quadratic regulator),简称LQR

LQR是回授控制器,方程式在后面会提到。LQR是LQG(线性二次高斯)问题解当中重要的一部分。而LQG问题和LQR问题都是控制理论中最基础的问题之一。

目录

  • 1 简介
  • 2 有限时间长度,连续时间的LQR
  • 3 无限时间长度,连续时间的LQR
  • 4 有限时间长度,离散时间的LQR
  • 5 无限时间长度,离散时间的LQR
  • 6 参考资料
  • 7 外部链接

简介

控制机器(例如飞机)的控制器,或是控制制程(例如化学反应)的控制器,可以进行最佳控制,方式是先设定成本函数,再由工程师设定加权,利用数学算法来找到使成本函数最小化的设定值。成本函数一般会定义为主要量测量(例如飞行高度或是制程温度)和理想值的偏差的和。算法会设法调整参数,让这些不希望出现的偏差降到最小。而控制量的大小本身也会包括在成本函数中。

LQR算法减少了工程师为了让控制器最佳化,而需付出的心力。不过工程师仍然要列出成本函数的相关参数,并且将结果和理想的设计目标比较。因此控制器的建构常会是迭代的,工程师在模拟过程中决定最佳控制器,再去调整参数让结果更接近设计目标。

在本质上,LQR算法是找寻合适状态回授控制器的自动化方式。因此也常会有控制工程师用其他替代方式,例如全状态回授(也称为极点安置)的作法,此作法对控制器参数和控制器性能之间的关系比较明确。而LQR算法的困难之处在找合适的加权因子,这也限制了以LQR控制器合成的相关应用。

有限时间长度,连续时间的LQR

方程式如下的连续时间线性系统,

其二次成本泛函为

其中F、Q和R都是正定矩阵。

可以让成本最小化的回授控制律为

其中

是连续时间Riccati方程的解:

边界条件如下

Jmin的一阶条件如下

(i) 状态方程

(ii) 协态方程

(iii) 静止方程

(iv) 边界条件

无限时间长度,连续时间的LQR

考虑以下的连续时间线性系统

其成本泛函为

可以让成本最小化的回授控制律为

其中定义为

代数Riccati方程英语Algebraic Riccati equation的解

也可以写成下式

其中

有限时间长度,离散时间的LQR

考虑离散时间的线性系统,定义如下 [1]

其性能指标为

可以让性能指标最小化的最佳控制序列为

其中

是由动态Riccati方程倒退时间佚代计算而得

从终端条件开始计算。注意没有定义,因为 是由推导到其最终状态

无限时间长度,离散时间的LQR

考虑离散时间的线性系统,定义如下

其性能指标为

可以让性能指标最小化的最佳控制序列为

其中

是离散代数Riccati方程英语Algebraic Riccati equation(DARE)的唯一正定解。

.

可以写成

其中

.

而求解代数Riccati方程的一个方式是迭代计算有限时间的动态Riccati方程,直到所得的解收敛为止。

参考资料

  1. ^ Chow, Gregory C. Analysis and Control of Dynamic Economic Systems. Krieger Publ. Co. 1986. ISBN 0-89874-969-7. 
  • Kwakernaak, Huibert & Sivan, Raphael. Linear Optimal Control Systems. First Edition. Wiley-Interscience. 1972. ISBN 0-471-51110-2. 
  • Sontag, Eduardo. Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems. Second Edition. Springer. 1998. ISBN 0-387-98489-5. 

外部链接

  • MATLAB function for Linear Quadratic Regulator design
  • Mathematica function for Linear Quadratic Regulator design

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